Ungedämpfte freie Schwingung

• Feder-Masse-System:
  • Masse m an Feder mit Federkonstanten c
    
  • als Applet zum Experimentieren
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  • Federkraft
    • F_f = - c x (Hookesches Gesetz)
  • Trägheitskraft
    • F_t = - m
  • Bewegungsgleichung
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  • Mit der Abkürzung
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  • erhält man
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• Lösung der Bewegungsgleichung:
  • lineare Dgl. mit konstanten Koeffizienten
  • Exponentialansatz
    • x(t) = e^{j ω t}
  • Einsetzen in die Dgl. liefert Beziehung für ω
    • - ω² + ω₀² = 0
  • 2 Lösungen für ω
    • ω= ± ω₀
  • damit 2 Lösungen für x
    • x_{a, b} = e^{± j ω₀ t}
  • lineare Dgl. mit reellen Koeffizienten → Realteil und Imaginärteil sind Lösung
    • x₁(t) = Re{x_a} = cos(ω₀ t)
    • x₂(t) = Im{x_a} = sin(ω₀ t)
  • allgemeine Lösung ist Superposition von x₁ und x₂
    • x(t) = A cos(ω₀ t) + B sin(ω₀ t)
  • harmonische Schwingung mit Frequenz
    • f = ω₀/2π   (Eigenfrequenz)
• Anfangsbedingungen:
  • bestimmen von A, B aus
    • x(0) = x₀    (Anfangsauslenkung)
    • (0) = v₀    (Anfangsgeschwindigkeit)
  • Einsetzen in allgemeine Lösung →
    • A = x₀
    • B = v₀/ω₀
  • damit vollständige Lösung
    • x(t) = x₀ cos(ω₀ t) + v₀/ω₀ sin(ω₀ t)
• Bestimmung von Amplitude und Phasenverschiebung:
  • Überlagerung von Kosinus- und Sinusschwingung ergibt
    • x(t) = cos(ω₀ t + φ)
  • Formeln zur Addition harmonischer Schwingungen liefern mit φ₁ = 0, φ₂ = -π/2
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  • Achtung: ggf. π zur Lösung von φ addieren!
• Aufgaben:
  • Aufgabe 11
  • Aufgabe 12
  • Aufgabe 13