Beschreibung harmonischer Schwingungen

• Harmonische Schwingung:
  • gegeben durch
    • x(t) = cos(ω t + φ)
  • Amplitude = Maximalausschlag
  • Kreisfrequenz ω
    • ω = 2π f = 2π/T
  • Anfangsphase φ
    
• Überlagerung zweier Schwingungen gleicher Frequenz:
  • wegen Superpositionsprinzip (bei linearen Systemen)

    • x(t)	= x1(t) + x2(t)
      	= 1 cos(ω t + φ1) + 2 cos(ω t + φ2)

  • ergibt wieder eine harmonische Schwingung gleicher Frequenz
    • x(t) = cos(ω t + φ)
  • mit Hilfe der Additionstheoreme folgt (etwas mühsam)
    • 
  • Vorsicht: Formel legt φ nur im Bereich 0 .. π fest! Daher:
    • Quadranten des Winkels aus Vorzeichen von Zähler und Nenner bestimmen
    • ggf. π zum erhaltenen Winkel addieren.
• Zeigerdiagramm:
  • Darstellung über komplexe Zahlen
  • Ausgangspunkt Euler-Gleichung
    • e^jx = cos(x) + j sin(x)
  • mit Re{z} als Realteil der komplexen Zahl z ist daher

    • x(t)	= cos(ω t + φ)
      	= Re{ ej(ω t + φ)}

  • Veranschaulichung in der komplexen Ebene:
    • e^{j(ω t + φ)}: gleichmäßig rotierender Zeiger
    • x(t): Projektion des Zeigers auf die x-Achse
    • im Bild:
      
  • Additionsformeln damit direkt aus der Zeigeraddition