Linearisierung von Bewegungsgleichungen

• Beispiel Fadenpendel:
  • Masse an einem Faden unter Gewichtskraft
    
  • Idealisierungen
    • keine Reibungsverluste
    • Faden gewichtslos und undehnbar
    • Faden ist stabil bei großen Winkeln ("Stange")
  • rücktreibende Kraft
    • F = - m g sin φ
  • Bewegungsgleichung aus Momentengleichgewicht
    • d²φ/dt² + (g/l) sin φ = 0
• Lösung der Bewegungsgleichung:
  • nichtlinear → schwierig
  • hier analytisch möglich, aber aufwändig
  • numerische Lösung
    • 
  • im Phasenraum
    • 
  • neue Phänomene
    • Abhängigkeit der Schwingungsdauer von der Amplitude
    • unbeschränkter Winkel (Überschlag)
• Näherung kleiner Schwingungen:
  • Annahme kleiner Auslenkungen
  • Gleichung näherungsweise linear
  • in praktischen Anwendungen häufig gut erfüllt
• Vorgehensweise bei der Linearisierung:
  • Bewegungsgleichung aufstellen
  • stabile Gleichgewichtslage(n) bestimmen
  • Koordinate x einführen mit x = 0 im Gleichgewicht
  • lineare Näherung für nichtlineare Kräfte durch Taylorentwicklung
    • komplett: f(x) = f(0) + x f'(0) + ...
    • schrittweise: sin(x) ≈ x, exp(x) ≈ 1 + x, x² ≈ 0 etc.
  • Einsetzen →
    • lineare Gleichung
    • Terme f(0) heben sich auf (Gleichgewicht)
• Linearisierung beim Fadenpendel:
  • Gleichgewichtslagen
    • sin φ = 0 ⇒ φ = 0, π
  • Linearisierung um φ = 0
    • x = φ
    • sin x = x - 1/3! x³ + 1/5! x⁵ ...
    • ⇒ + (g/l) x = 0
    • harmonische Schwingung mit
  • Linearisierung um φ = π
    • x = φ - π
    • sin φ = sin(π + x) = - sin x
    • ⇒ - (g/l) x = 0
    • x wächst exponentiell
    • instabiles Gleichgewicht
• Aufgaben:
  • Aufgabe 8
  • Aufgabe 9
  • Aufgabe 10