Grenzwertsätze

• Tschebyschoff-Ungleichung:
  • X Zufallsvariable mit E(X) = μ, Var(X) = σ², c > 0 beliebig ⇒
    • 
  • anschaulich: Abweichung einer Zufallsgröße vom Mittelwert selten größer als einige σ
• Beweis der Tschebyschoff-Ungleichung:
  • Betrachte diskrete Zufallsgröße Y gegeben durch
    • 
  • Offensichtlich gilt
    • 
  • Daher ist Erwartungswert
    • 
  • Außerdem ist
    • 
  • Daraus folgt
    • 
• (Schwaches) Gesetz der großen Zahlen:
  •  X_i Folge von i.i.d. Zufallsvariablen mit E(X_i) = μ, Var(X_i) = σ²,  ε > 0 beliebig ⇒
    • 
  • anschaulich: Mittelwert geht mit Wahrscheinlichkeit 1 gegen Erwartungswert
  • Stärkere Version (Mittelwert geht gegen Erwartungswert) ist falsch, da dauerhafte große Abweichungen möglich sind (wenn auch unwahrscheinlich).
  • Spezialfall
    • X_i ~ B(1,p), d.h. Eintreffen eines Ereignisses A mit Wahrscheinlichkeit p
    • E(X_i) = p
    • Mittelwert der X_i = relative Häufigkeit des Eintretens von A
    • Satz sagt: Relative Häufigkeit geht nach Wahrscheinlichkeit gegen p
  • nachträgliche Begründung für Frequentismus (s.o.)
• Beweis des Gesetzes der großen Zahlen:
  • Definiere Zufallsgröße _n
    • 
  • Wegen Unabhängigkeit der X_i addieren sich Erwartungswerte und Varianzen. Daher
    • 
  • Einsetzen in Tschebyschoff-Ungleichung ⇒
    • 
  •  mit n → ∞ folgt Behauptung
• Zentraler Grenzwertsatz:
  • X_i Folge von i.i.d. Zufallsvariablen mit E(X_i) = μ, Var(X_i) = σ²
  •  betrachte Summenverteilung
    • 
  • Fakt: S_n geht gegen Normalverteilung, aber
    • E(S_n) = n μ, Var(S_n) = n σ²
    • gehen im Limes gegen unendlich, daher mathematisch unbequem
  • Ausweg: standardisierte Verteilung betrachten
    • 
  • Satz: Verteilung von Z_n geht gegen Standardnormalverteilung
    • 
  • Beweis aufwändig
  • Satz verallgemeinerbar auf nicht-identische Verteilungen (unter bestimmten Voraussetzungen)
  • Grund für häufiges Auftreten der Normalverteilung, z.B.
    • Messfehler oder Produktionsungenauigkeiten oft Summe vieler kleiner Einzelfehler
    • Größe von Menschen durch viele verschiedene Parameter bestimmt
• Approximation der Binomialverteilung:
  • Einzelverteilung X_i = B(1,p), i = 1, .. n
    • Eintreffen eines Ereignisses A mit Wahrscheinlichkeit p
  • X = Σ X_i = Anzahl der Treffer ~ B(n, p)
  • Binomialverteilung nähern durch Normalverteilung
    • 
  • Stetigkeitskorrektur
    • Treppenfunktion → glatte Dichtefunktion
    • genauer, wenn Dichtefunktion Stufen in der Mitte trifft
  • besser also
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  • Anwendungsbereich
    • n p und n (1-p) groß genug
    • Faustregel: beide ≥ 5
• Beispiel Produktionsfehler (s.o.):
  • Fehlerquote p = 10 %, entnommen werden n = 100 Stück
  • Check: n p = 10, n (1-p) = 90 → Näherung ok
  • Berechnung von P(X = 10) mit Binomialverteilung
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  •  Berechnung von P(X = 10) mit Normalverteilung
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• Aufgaben:
  • Aufgabe 18