Spezielle diskrete Verteilungen

• Gleichverteilung:
  • mögliche Werte 1, ..., N
  • p(k) = 1/N für k = 1, ..., N
  • Beispiele: Münzwurf, Würfeln
• Binomialverteilung B(n,p):
  • Bernoulli-Experiment
    • Experiment mit zwei Ausgängen ("Erfolg", "Misserfolg")
    • Wahrscheinlichkeit für Erfolg sei p
  • X = Anzahl von Erfolgen bei n-maliger Wiederholung
  • Wahrscheinlichkeitsfunktion
    • 
  • Begründung
    • ein bestimmtes Ereignis mit k Erfolgen hat Wahrscheinlichkeit p^k (1-p)^n-k
    • es gibt viele solcher Ereignisse
  • Schreibweise
    • X ~ B(n,p) :⇔ X ist verteilt nach B(n,p)
    • analog für andere Verteilungen
• Anwendung Produktionsfehler:
  • Bei einer Stanzmaschine seien 10% der gefertigten Teile außerhalb der benötigten Toleranz und müssen nachgearbeitet werden.
  • Stichprobe mit 15 Teilen werde entnommen, X = Zahl der defekten Bauteile
  • Wahrscheinlichkeiten gesucht für
    • genau zwei defekte Teile
    • Zahl der defekten Teile zwischen 5% und 15%
    • höchstens 12 defekte Teile
  • Lösungen
    • 
• Geometrische Verteilung G(p):
  • X = Zahl der Versuche, bis Bernoulli Erfolg liefert
  • Wahrscheinlichkeitsfunktion
    • p(k) = (1 - p)^k-1 p für k = 1, 2, ...
  • Beispiel Produktionsfehler
    • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass erst das 5. Teil defekt ist?
    • p(X = 5) = (1 - p)⁴ · p = 6.56%
  • manchmal zählt man nur Zahl der Fehlversuche Y
    • p(Y = k) = (1 - p)^k p für k = 0, 1, ...
    • Verteilung von Y heißt auch G⁰(p)
• Hypergeometrische Verteilung H(N, R, n):
  • Grundmodell
    • Urne enthalte N Kugeln, R rote, N-R weiße
    • man zieht n Kugeln ohne Zurücklegen
    • X = Anzahl der gezogenen roten Kugeln
  • Zahl der möglichen Ziehungen insgesamt
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  • Zahl der Ziehungen mit genau r roten Kugeln
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  • Wahrscheinlichkeitsverteilung von X
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• Beispiel Lottozahlen:
  • wie üblich werden 6 aus 49 gezogen
  • Vorstellung: die gezogenen werden rot bemalt
  • X = Zahl der richtigen, hypergeometrisch verteilt
  • insbesondere für 4 Richtige
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• Poisson-Verteilung Po(λ):
  • Verteilung für häufige Experimente mit kleiner Erfolgs-Wahrscheinlichkeit
  • X = Zahl der Erfolge in einem gegebenen Zeitintervall
  • Beispiele
    • Zahl von Schadensfällen pro Monat bei einer Versicherung
    • Zahl radioaktiver Zerfälle pro Sekunde
    • Zahl der Fahrzeuge pro Minute auf einer Straße
  • Parameter λ = Rate, "mittlere" Zahl der Erfolge pro Zeitintervall
  • Wahrscheinlichkeitsverteilung von X
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• Beispiel Versicherung:
  • Annahme: Zahl der Schadensfälle ist Poisson-verteilt mit Rate λ = 3/Monat
  • berechne Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse
    • genau 3 Schadensfälle im Monat
    • höchstens 2 Schadensfälle im Monat
    • mehr als 3 Schadensfälle im Monat
  • Lösungen
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• Poisson-Grenzwertsatz:
  • Betrachte binomialverteilte Zufallsvariablen X_n mit Parametern n und p_n, so dass
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  • X_n geht dann gegen eine Poissonverteilung, d. h.
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  • Beweis im Anhang
• Aufgaben:
  • Aufgabe 6
  • Aufgabe 7
  • Aufgabe 8