Berücksichtigung der Dämpfung

• Standardbeispiel mit Anregung und Dämpfung:
  • Massen-Feder-Dämpfer-System wie vorher
    
  • Fußpunkterregung
    • 
  • Anregungskraft wirkt nur auf erste Masse
    • 
  • mit
    • 
  • verschiebe Zeitnullpunkt in Kraftmaximum → ψ = 0
  • Bewegungsgleichungen
    • 
  • schreiben Erregerkraft als Realteil einer komplexen Anregung
    • 
  • und x = Re(z) für die komplexe Gleichung
    • 
  • Ansatz
    • 
  • ergibt lineares Gleichungssystem für _i
    • 
  • Auflösen liefert das Ergebnis für _i, damit dann auch für
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• Beispiel mit expliziten Werten:
  • Zur Vereinfachung rechnen wir mit folgenden Werten weiter
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  • Der Exponentialansatz liefert dann das Gleichungssystem
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  • Auflösen ergibt
    • 
  • in Polardarstellung umgerechnet
    • 
  • Damit lautet die komplexe Lösung
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  • Die gesuchte relle Lösung ist dann der Realteil
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• Vorgehen im allgemeinen Fall:
  • Aufstellen der Bewegungsgleichung in Matrixform
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  • Lösen des Gleichungssystems für komplexe Amplituden
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  • komplexes in Polardarstellung bringen
    • 
  • relle Lösung ist dann
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• Standardbeispiel mit allgemeinen Werten:
  • Einführung der üblichen Abkürzungen und
    • 
  • ergibt
    • 
  • Auflösen →
    • 
    • mit komplexen Frequenzgang-Funktionen H₁₁, H₂₁
  • für gegebene Dämpfung D und Frequenzverhältnis η = Ω/ω₀ hat man
    • komplexe Zahlen H_ik
    • Polardarstellung
    • 
    • Vergrößerungsfunktionen V_ik
    • Phasenverschiebungen φ_ik
  • graphisch
    
  • Interpretation
    • Resonanzen bei Eigenfrequenzen ω₀ und 1.73 ω₀
    • Resonanz bei ω₀ ist stärker, da sich bei kleinerer Frequenz die Dämpfung weniger auswirkt
    • V₁₁ hat keine Nullstelle → nur partielle Schwingungstilgung
• Aufgaben:
  • Aufgabe 15
  • Aufgabe 16