Zahldarstellungen und Rechnerarithmetik

• Gleitpunktzahlen:
  • Zahlen im Rechner
    • nur endlich viel Speicherplatz pro Zahl
    • → reelle Zahlen approximiert durch endlich viele Werte
  • Darstellung
    • bezogen auf eine Basis (fast immer 2, manchmal 10)
    • endlich viele Ziffern (Mantisse) und ein Exponent
    • ermöglicht sehr kleine und sehr große Zahlen
  • Beispiele
    • 3.561 * 10^-12, 124.2 * 10³
    • 1.101001101 * 2^-3, 0.011001011 * 2¹⁵
• Normalisierte Gleitpunktzahlen:
  • genau eine Ziffer, ≠ 0, vor dem Dezimalpunkt
  • Beispiele
    • 3.242 * 10⁵ statt 324.2 * 10³ oder 324200
    • 1.010101 * 2^-1 statt 0.1010101
  • Vorteil: keine Zweideutigkeit (Ausnahme: 0!)
  • Spezialität im 2-er-System
    • erste Ziffer ist immer 1
    • muss nicht gespeichert werden
    • → ein extra Bit zur Erhöhung der Genauigkeit (hidden bit)
• Gleitpunktsysteme:
  • beschrieben durch 4 Größen

    • β	Basis
      t	Zahl der Ziffern = Mantissenlänge
      emin	kleinster Exponent
      emax	größter Exponent

  • Kennwerte

    • realmin	kleinster positiver Wert
      realmax	größter positiver Wert
      ε	Maschinengenauigkeit
      Ngesamt	Anzahl der Zahlen

  • ε = betragsmäßig kleinste Zahl, die man zu 1 addieren kann, so dass sich der Wert ändert
  • Beispiel A: β = 10, t = 2, emin = -2, emax = 3

    • realmin	1.0 * 10-2
      realmax	9.9 * 103
      ε	1.1 - 1.0 = 0.1
      Ngesamt	2*9*10*(5+1) + 1 = 1081

  • Beispiel B: β = 2, t = 4, emin = -3, emax = 3

    • realmin	1.0002 * 2-3 = 1/8
      realmax	1.1112 * 23 = 15
      ε	1.0012 - 1.0002 = 1/8
      Ngesamt	2*1*23*(6+1) + 1 = 113

  • allgemein

    • realmin	βemin
      realmax	(1 - β-t)*βemax + 1
      ε	β(1-t)
      Ngesamt	2*(β - 1)*β(t-1)*(emax - emin + 1) + 1

• Verteilung der Gleitpunktzahlen:
  • positive Zahlen für Beispiel B
    • linear
    • 
    • logarithmisch
    • 
  • negative Zahlen durch Spiegelung nach links → beachte große Lücke bei 0
• Runden:
  • reelle Zahl x → nächstgelegene Fließkommazahl fl(x)
  • Bereichsüberschreitung
    • x > realmax → fl(x) = ∞ (Overflow)
    • x < -realmax → fl(x) = -∞ (Overflow)
    • |x| < realmin → fl(x) = 0 (Underflow)
  • verschiedene Spezialregeln, wenn x genau zwischen zwei Werten
    • zur größeren Zahl
    • zur betragsmäßig größeren Zahl
    • so, dass letzte Mantissenzahl gerade ist (round to even)
  • round to even hat beweisbare Vorteile (kein langsames Aufsteigen durch Runden)
• IEEE 754-Standard
  • Festlegung des Gleitpunktsystems und der genauen Bedeutung jedes Bits für 32-Bit-Zahlen (float) und 64-Bit-Zahlen (double)
  • für double (Standard heutiger Hardware)
    • β = 2, t = 53, e_max = 1023, e_min = -1022
    • round to even
    • hidden bit
  • Kennzahlen

    • realmin	2.2251e-308
      realmax	1.7977e+308
      ε	2.2204e-16
      Ngesamt	1.8429e+19 (vgl. 264 = 1.8447e+19)

  • Festlegung der Bits
    • 
    • 1 Bit Vorzeichen s
    • 11 Bit Exponent, als positive ganze Zahl E
    • 52 Bit Mantisse (ohne das hidden Bit), als positive ganze Zahl M
  • Interpretation des Bitmusters
    • 
  • spezielle Bitmuster

    • E = 0, M = 0	0
      E = 2047, M = 0	± ∞
      E = 2047, M != 0	NaN

  • Ausgabe des Bitmusters (hexadezimal) in Matlab mit
    • format hex
• Aufgaben:
  • Aufgabe 1
  • Aufgabe 2