Fehlerarten

• Numerische Mathematik:
  • Entwicklung und theoretische Analyse von Verfahren (Algorithmen) zur zahlenmäßigen Lösung mathematischer Fragestellungen
  • Ansprüche an Algorithmen
    • endlich (selten) oder zumindest konvergent (Normalfall)
    • schnell = Zahl der Operationen (für eine gewünschte Genauigkeit) möglichst klein
    • stabil = ähnliche Ergebnisse bei kleinen Störungen der Eingangsdaten
• Plot eines Polynoms mit Matlab [1, S.42]:
  • Beispiel-Polynom
    • 
  • direkte Berechnung als Potenz (A) oder ausmultipliziert (B) mit Matlab liefert
    • 
• wichtige Fehlerquellen:
  • Abbruchfehler bei iterativen Verfahren
  • Rundungsfehler durch ungenaue Darstellung der Zahlen (Computer-Arithmetik)
  • Datenfehler durch ungenaue Eingangswerte
• Fehlermaße:
  • sei x ein genauer Wert, ein Näherungswert
  • absoluter Fehler
    • 
  • relativer Fehler (für x ≠ 0)
    • 
  • absoluter Fehler bei der Addition
    • 
  • relativer Fehler bei der Multiplikation
    • 
  • in vielen Anwendungen ist der relative Fehler entscheidend!
• Auslöschung:
  • relativer Fehler bei der Addition
    • 
  • problematisch für
    • 
    • also bei Subtraktion etwa gleich großer Zahlen
• Lösung quadratischer Gleichungen:
  • Beispiel
    • 
  • Lösungsformel
    • 
  • liefert als erste Lösung
    • 
  • bei Rechnung mit 4 signifikanten Stellen aber
    • 
  • mit einem relativen Fehler
    • 
  • also: möglichst nie etwa gleich große Zahlen subtrahieren!
• Alternativer Algorithmus:
  • Lösungsformel umstellen
    • 
  • Rechnung auf 4 signifikanten Stellen
    • 
  • liefert also volle 4 signifikanten Stellen Genauigkeit
• Kernthemen dieses Kurses:
  • wichtige Algorithmen in Beispielen
  • Sätze zu Konvergenz- und Stabilitätseigenschaften, aber keine Beweise
  • Implementierungen in Matlab