Wärmeaufnahme eines Kühlrohrs

• Problemstellung:
  • in ein Kühlrohr wird Fluid (Flüssigkeit oder Gas) der Temperatur T_in gepumpt
  • das Rohr nimmt die Wärmemenge aus der heißen Umgebung (Temperatur T_r) auf
  • dadurch erwärmt sich das Fluid auf T_out
  • Wärme durchläuft dabei mehrere Schichten
    • Wärmedurchgang vom Raum zur äußeren Rohrwand (T_r → T_wo)
    • Wärmeleitung durch die Rohrwand (T_wo → T_wi)
    • konvektiver Übergang von der Rohrwand zur Flüssigkeit (T_wi → T_mi := (T_in + T_out)/2)
  • gesucht: Wärmemenge , Temperaturen T_wo, T_wi, T_out
• Bilanzgleichungen:
  • Vereinfachung: T_wi, T_wo längs Rohr konstant
  • damit
    • 
  • alle Stoffgrößen und Übergangskoeffizienten α_i hängen in komplizierter Weise von den T_i ab
  • 4 Gleichungen für 4 Unbekannte mit folgender Struktur
    • 
  • System kann in verschiedener Weise auf eine Gleichung reduziert werden
• Lösung mit Nullstellensuche:
  • Grundschema mit Basisvariable T_out
    1. (G1) nach auflösen → (T_out) (analytisch)
    2. (G2) mit (a) nach T_wi auflösen → T_wi(T_out) (numerisch)
    3. (G3) mit (a), (b) nach T_wo auflösen → T_wo(T_out) (numerisch)
    4. (G4) mit (a), (c) → Gleichung für T_out (numerisch)
  • sichere Intervalle für fzero
    2. T_wi ∈ [T_in, ∞)
    3. T_wo ∈ [T_wi, ∞)
    4. T_out ∈ [T_in, T_max] mit
    5. 
  • Beweise
    • physikalisch leicht herleitbar
    • mathematisch unter Annahmen an die Stoffbeziehungen
    • in allen untersuchten Beispielen (Gase + Flüssigkeiten) erfüllt
  • fzero mit Intervall [T₀, ∞)
    • wähle obere Grenze T₁
    • kein Vorzeichenwechsel → verdoppele Intervallbreite (bei festem T₀)
• Lösung mit Fixpunkt-Iteration:
  • Idee stammt aus Praxisprojekt
    • Vorgehen ähnlich wie oben
    • Problem mit (d): T_out kommt in (G4) nicht vor
  • Grundschema
    1. wähle Startwert für T_out
    2. aus (G1) bestimmen (analytisch)
    3. aus (G2) mit (b) T_wi bestimmen (numerisch)
    4. aus (G3) mit (b), (c) T_wo bestimmen (numerisch)
    5. aus (G4) mit (d) neues bestimmen (analytisch)
    6. aus (G1) mit (e) neues T_out bestimmen (numerisch)
  • drei numerische Teilschritte (c), (d), (f)
    • mit Sub-Iterationen
    • in folgender Analyse der Einfachheit halber direkt mit fzero
  • guter Startwert T_out,0 = (T_in + T_max)/2 von oben
  • numerische Ergebnisse
    • konvergiert bei vielen Parametersätzen und Materialien
    • divergiert z.B. bei Wasser/Frigen
  • in der Literatur komplexe Subiterationen für ähnliche Probleme
  • Fazit: Konvergenz nur bei bestimmten Stoffen