Druckabfall bei turbulenter Rohrströmung

• Problemstellung:
  • Flüssigkeit wird durch ein Rohr gepumpt
  • Reibung am Rand und innerhalb der Flüssigkeit führt zu Druckverlust
  • bestimme dessen Größe
• Relevante Parameter:
  • Rohrdurchmesser d, Rohrlänge L, Wandrauheit k
  • Dichte ρ, kinematische Viskosität ν
  • mittlere Strömungsgeschwindigkeit , Druckabfall Δp
  • gesucht: Δp(, k)
• Colebrook-Beziehung:
  • dimensionslose Größen einführen
  • Reynoldszahl
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  • relative Wandrauheit
    • 
  • Rohrreibungszahl
    • 
  • gesucht jetzt: λ(Re, k_r)
  • Zusammenhang nach Colebrook (für Re > 2300)
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  • nebenbei: kann mit Lambert-W-Funktion explizit gelöst werden
• Lösung mit Nullstellensuche:
  • Nullstellenfunktion
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  • physikalische Grenzen
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  • Eigenschaften von f
    • monoton fallend
    • f(10^-4) > 0, f(1) < 0
  • fzero klappt zuverlässig mit a-priori-Intervall [10^-4, 1]
• Lösung mit Fixpunkt-Iteration:
  • Iterationsfunktion
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  • Ergebnis numerischer Untersuchung
    • |g'(λ)| < 1 außer für sehr kleine λ
    • |g'(λ)| < 1 am Fixpunkt
    • Iteration klappt auch bei sehr kleinem Startwert für λ
  • Fazit: Konvergenz ist zuverlässig, unabhängig vom Startwert