Beispielprogramm: Direkte Lösung der Poisson-Gleichung

Problemstellung:

• Finde approximative Lösung der Poisson-Gleichung
  
  $$\Delta u = f$$
  
  
  auf einem rechteckigen Gebiet für gegebene Quellen f und Randwerte u.

Diskretisierung:

• Kontinuum ersetzt durch Gitter, Ableitung durch Differenzenquotient
  
  $$u_{i+1,j} + u_{i-1,j} + u_{i,j+1} + u_{i,j-1} - 4 u_{i,j} = h^2 f_{i,j}$$
  
  

• Am Rand u-Werte durch vorgegebene Randwerte ersetzen.

Umschreiben auf lineares Gleichungssystem:

• Umbau von 2d-Gitter auf 1d-Index:
  
  $$(j,l), j=1..J, l=1..L \rightarrow i=jL+l, i=1..JL$$
  
  

• Aus diskretisierter Poisson-Gln. wird:
  
  $$u_{i+L} + u_{i-L} + u_{i+1} + u_{i-1} - 4 u_i = h^2 f_i$$
  
  

• Auftretende Randwerte auf die rechte Seite, i.f. = 0.
• Damit schreibbar als
  
  $$A_{i,j} u_i = h^2 f_i$$
  
  
  wobei
  
  $$A = \left( \begin{array}{cccccccc} B & I & 0 & 0 & \multi... ...ulticolumn{3}{c}{\ldots} & 0 & 0 & I & B \end{array} \right)$$
  
  

  I = nxn-Einheitsmatrix

  
  

  $$B = \left( \begin{array}{cccccccc} -4 & 1 & 0 & 0 & \mult... ...lticolumn{3}{c}{\ldots} & 0 & 0 & 1 & -4 \end{array} \right)$$
  
  

Sourcen:

• sparsetest.f90 , kinds.f90

Lösung des Gleichungssystems:

• A: $n^2 x n^2$ - Matrix
     $3*n^2 - n - 1$ Elemente $\neq 0$
• rechte Seite: Punkt-Quadrupol
• verwende Sparse Solver von Veclib
• Speicherbedarf von A bei n = 500:

  full:	500 000 MB
  sparse:	6 MB
  zur Lösung:	300 MB

Performance-Messungen:

• skalar:

  
  

  

  
  

• parallel:
  • MLIB-Manual: dsleda ist parallelisiert
  • keine Beschleunigung bei mehr CPUs!
  • Analyse mit CXperf:
    • 30% Zeitanteil für dslefa
    • CPU/Wall = 1.0 für dslefa (und alle anderen Routinen)
    • $\rightarrow$ ist nicht parallel!