Wärmeströmung

• Konvektiver Wärmeübergang:
  • Wärmeaustausch zwischen strömendem Fluid und fester Wand
    
  • Geschwindigkeit des Fluids sinkt von Außengeschwindigkeit w in dünner Schicht bis 0 an der Wand (Haftbedingung)
  • Temperatur im Fluid ändert sich von T_f bis zu T_w an der Wand
  • Newtonsches Abkühlungsgesetz (analog zum Gesetz von Fourier)
    • = α (T_w - T_f)
  • Wärmeübergangskoeffizient α hängt ab von
    • Stoffeigenschaften von Wand und Fluid
    • Wandgeometrie
    • Strömungsverhältnissen
  • direkte Berechnung von α sehr schwierig
• Ähnlichkeitsgesetze:
  • Elimieren der Einheiten aus Grundgleichungen und Einführung einheitenloser Kennzahlen
  • gleiche Kennzahlen → gleiche Lösungen
  • erlaubt Übertragbarkeit von Ergebnissen auf ähnliche Situationen, z.B.
    • andere Abmessungen (bei gleicher Geometrie)
    • andere Strömungsgeschwindigkeit
    • andere Stoffgrößen (z.B. Wärmeleitfähigkeit)
  • empirisch oder theoretisch bestimmte Beziehungen mit Kennzahlen ausdrücken
  • grundlegendes Vorgehen vor allem bei Strömungen
• Wichtige Kennzahlen:
  • Nußelt-Zahl
    • Nu := α L / λ
    • L: charakteristische Länge
    • hier die gesuchte Größe (liefert α !)
  • Reynolds-Zahl
    • Re := w L / ν
    • ν: kinematische Viskosität ("Zähigkeit" des Fluids)
    • wichtigste Kennzahl für Strömungen
    • charakterisiert Grenze zwischen laminarer und turbulenter Strömung
    • wichtig bei erzwungener Konvektion
  • Prandtl-Zahl
    • Pr := ν / a
    • a = λ/(ρ c_p): Temperaturleitfähigkeit
  • Rayleigh-Zahl
    • Ra := g γ L³ ΔT/(ν a)
    • g = 9.81 m/s²: Erdbeschleunigung
    • γ: Volumen-Ausdehnungskoeffizient
    • wichtig bei freier Konvektion
• Beziehungen zwischen Kennzahlen:
  • bei erzwungener Konvektion
    • Nu = f(Re, Pr)
  • bei freier Konvektion
    • Nu = f(Ra, Pr)
  • f abhängig vom konkreten Problem
  • für viele praktische Fälle tabelliert
  • aus Messungen oder Näherungsrechnungen gewonnen
  • häufig nur für bestimmte Bereiche gültig (kleines Re, Intervall für Pr, ...)
  • durch Messungen immer wieder aktualisiert, ggf. konkrete Formeln aus aktueller Literatur verwenden (z.B. neueste Auflage von [8])
• Flüssigkeitsdurchströmtes Rohr:
  • Bezugsgrößen zur Berechnung der Kennzahlen
    • mittlere Strömungsgeschwindigkeit w im Rohr
    • Mittelwert T_f aus Eintritts- und Austrittstemperatur
    • Wert für λ bei (T_f + T_w)/2 nehmen
    • Rohrdurchmesser L
  • weitere Größen
    • Rohrlänge h
    • Prandtl-Zahl Pr_f, Pr_w der Flüssigkeit bei T_f, T_w
  • Beziehungen
    • für Re ≤ 2300 und Re Pr_f L/h = 0.1 ... 10⁴
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    • für Re = 2300 ... 10⁶ und Pr_f = 0.5 ... 1.5
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    • für Re = 2300 ... 10⁶ und Pr_f = 1.5 ... 500
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• Freie Strömung an senkrechter Wand:
  • Bezugsgrößen zur Berechnung der Kennzahlen
    • Wandhöhe L
    • γ bei T_f
    • Stoffwerte bei T = (T_f + T_w)/2
  • Beziehung für Pr ≥ 0.001, Ra = 0.1 .. 10¹², Nu > 2
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• Allgemeine Eigenschaften:
  • Nu (und damit α) wächst mit Pr
  • Pr-Zahlen bei Flüssigkeiten größer als bei Gasen → besserer Wärmeübergang bei Flüssigkeiten
  • Nu wächst mit Re
  • besserer Wärmeübergang bei höherer Geschwindigkeit (Turbulenz!)
  • aber: größere Reibung → höhere Druckverluste
• Wärmedurchgang:
  • Wärme geht von Fluid durch eine Wand auf anderes Fluid
    
  • konvektiver Temperaturabfall an Fluid-Wand-Schicht wirkt wie thermischer Widerstand
    • R_K = 1/(α A)
  • liegt "in Reihe" zu den thermischen Widerständen der Wandschichten
  • damit genauere Berechnung des Wärmestroms durch eine Wand
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• Aufgaben:
  • Aufgabe 10
  • Aufgabe 11