Unabhängige Zufallsvariablen

• Unabhängigkeit mehrerer Zufallsvariablen X₁, .., X_n:
  • Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion faktorisiert
    • p(x₁, ..., x_n) = p(x₁) ... p(x_n)   (diskret)
    • f(x₁, ..., x_n) = f(x₁) ... f(x_n)   (stetig)
  • vereinfacht Berechnungen erheblich
  • X, Y unabhängig ⇒
    • E(X Y) = E(X) E(Y)
    • Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)
  • weitere Vereinfachung: alle X_i haben gleiche Verteilung
    • Bezeichnung: i.i.d. = independent identically distributed
  • häufig gute Annahme für Messreihen
• Beispiel Rundungsfehler:
  • Zahlenwerte im Computer
    • sind auf feste (binäre) Stellenzahl gerundet
    • Rechenergebnisse haben Rundungsfehler
    • Standardgenauigkeit δ ≈ 2 · 10^-16
    • Abweichung maximal δ/2
  • Annahmen (meistens gut erfüllt)
    • Rundungsfehler X gleichverteilt im Intervall [-δ/2, δ/2]
    • Rundungsfehler von Teilrechnungen unabhängig voneinander
  • für Einzelfehler
    • E(X) = 0
    • Var(X) = δ²/12
  •  Zufallsvariable S für Summe aus n Größen
    • 
  • mittlerer Fehler wächst mit , nicht mit n
    • Grund: positive und negative Fehler heben sich teilweise auf
• Summe unabhängiger Zufallsgrößen:
  • X, Y unabhängige Zufallsvariable mit Dichten f(x), g(y)
  • gesucht: Dichtefunktion h(z) von Z = X + Y
  • Ergebnis
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  • Beweis
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    • mit der Substitution t = x + y, dt = dy bei (1)
  • Spezialfälle
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• Beispiel Beladung eines Schmelzofens:
  • Schmelzofen wird mit Kisten aus Ausschussmaterial beladen
    • Behälter für Schmelze fasst maximal 3000 kg
  • unterschiedliche Masse pro Kiste, Verteilung X ~ N(100 kg, 400 kg²)
  • wird mit n = 27 Kisten beladen
  • Gesamtladung S_n des Ofens also normalverteilt mit
    • E(S_n) = n E(X) = 2700 kg
    • Var(S_n) = n Var(X) = 10800 kg²
    • σ(S_n) = 103.9 kg
  • Wahrscheinlichkeit für Überladung
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• Maximum und Minimum unabhängiger Zufallsgrößen:
  • gegeben: n i.i.d. Zufallsvariablen X_i mit Dichte f(x) und Verteilungsfunktion F(x)
  • gesucht: Dichte h_max(z) von Z = Max(X_i)
  • Ergebnis
    • 
  • Beweis
    • 
  • analog für das Minimum
    • 
• Beispiel Gleichverteilung:
  • n in [0,1] gleichverteilte Zufallszahlen X_i
  • gesucht: Erwartungswert für Maximalwert Z
  • Dichte und Verteilungsfunktion der einzelnen X_i
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  • mit obigen Formeln
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  • Erwartungswert
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  • z. B. für n = 10
    • E(Z) = 10/11 = 0.9091
    • P(Z ≤ 0.9) = 0.9¹⁰ = 34.87 %
• Aufgaben:
  • Aufgabe 16
  • Aufgabe 17