Schwingungsformen des Balkens

Laufende Wellen:
- Ansatz
- Einsetzen in Bewegungsgleichung →
- Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt von der Wellenlänge ab (Dispersion)
Stehende Wellen:
- wieder mit Produktansatz
- Einsetzen in Bewegungsgleichung →
- Lösung für T wie gehabt
- Gleichung für Q
- mit
- allgemeine Lösung für Q

Randbedingungen:

grundsätzlich vier Werte vorgebbar

bei einer Stelle etwa

Q(0)	Auslenkung bei 0
Q'(0)	Verbiegung bei 0
Q''(0)	Moment bei 0
Q'''(0)	Querkraft bei 0

in der Praxis meistens an jedem Ende zwei Bedingungen

wichtige explizite Randbedingungen

	Rand fest	keine Auslenkung, keine Verbiegung	Q = 0, Q' = 0
	Rand frei	kein Moment, keine Kraft	Q'' = 0, Q''' = 0
	Rand gestützt, mit Gelenk gelagert	keine Auslenkung, kein Moment	Q = 0, Q'' = 0

implizite Randbedingungen verknüpfen Randgrößen

Eigenfrequenzen des einseitig eingespannten Balkens (Kragbalken):
- feste Einspannung bei 0, freier Rand bei L →
  - Q(0) = Q'(0) = Q''(L) = Q'''(L) = 0
- allgemeine Lösung für Q(x) und seine Ableitungen
- Einsetzen der Randbedingungen liefert mit κ := μ L
- homogenes Gleichungssystem
- nichttriviale Lösungen ⇔ Systemdeterminante verschwindet
- Determinante durch zeilenweises Entwickeln lösen
- alternativ Gleichungen 1,2 auflösen und in 3,4 einsetzen, dann auflösen
- nach endlich langer Rechnung folgt
- mit den bekannten Formeln
- erhält man eine transzendente Gleichung für die Eigenfrequenzen
Lösung der Eigenwertgleichung:
- graphisch als Schnitt zweier Funktionsgraphen, z.B.
- Näherung für n ≥ 3
  - Fehler schon bei i = 3 nur 0.01 %
- numerisch bestimmte Werte
  - κ₁ = 1.8751
  - κ₂ = 4.6941
  - κ₃ = 7.8548
- Eigenfrequenzen daraus mit
Eigenschwingungen des Kragbalkens:
- Lösungen für die nur bis auf einen Faktor festgelegt
- setzen willkürlich
- außerdem war
- alles in 4. Gleichung einsetzen und auflösen ergibt
- ε_i aus den numerischen Werten von κ_i
  - ε₁ = 0.7341
  - ε₂ = 1.0185
  - ε₃ = 0.9992
  - ε_i = 1.0000 für i ≥ 4
- Eigenschwingungen damit
- graphisch
Aufgaben: