Lösung von Aufgabe 8
- Bestimmung der Bewegungsgleichung:
- Wahl: Winkel und Momente positiv im Gegenuhrzeigersinn
- Senkrecht nach unten wirkt auf die Masse die Gewichtskraft
- entsprechendes Moment, bezogen auf das Lager am Boden
- Kraft durch die Feder (bei angenommener waagerechter Lage
der Feder)
- zugehöriges Moment
- Momentengleichgewicht
- Mit
- erhält man daraus
- Gleichgewichtslagen:
- Im Gleichgewicht bleibt die Masse in Ruhe, alle Ableitungen
verschwinden. Daher
- Lösungen
- φ0 = 0
- φ0 = π
- Interpretation
- senkrecht nach oben
- senkrecht nach unten, widerspricht der Näherung
waagerechter Feder
- Gleichgewicht bei kleiner Schräglage, zwei in
symmetrischer Position
- Linearisieren der Bewegungsgleichung um φ = 0:
- Koordinate φ ist bereits die Abweichung von der Gleichgewichtslage
- Zum Linearisieren betrachten wir die Funktion
- Ihre Ableitung ist
- Damit erhält man als lineare Näherung von f(x)
- Einsetzen ergibt die linearisierte Bewegungsgleichung
- Einsetzen der Zahlenwerte
- Linearisieren der Bewegungsgleichung um φ = 0.6684:
- Gleichgewichtskoordinate x
- Bewegungsgleichung in x
- Linearisieren der einzelnen Terme
- Zunächst ist
- Analog
- Weiter vereinfacht man in 1. Ordnung
- Einsetzen in die Bewegungsgleichung und Zusammenfassen
der konstanten und in x linearen Terme liefert
- Einsetzen der Zahlenwerte
- Analyse der Gleichung
- der konstante Term ist weggefallen. Dies muss bei Linearisieren
um eine Gleichgewichtslage auch so sein.
- negatives Vorzeichen vor x → Gleichgewichtslage
ist instabil
- Ergebnis bei halb so großem c:
- Bestimmen der Gleichgewichtslagen wie oben liefert
- es existiert also keine weitere Gleichgewichtslage neben
φ0 = 0 (und der unsinnigen bei π)
- Mit dem neuen c-Wert lautet die um 0 linearisierte Gleichung
- die senkrechte Stellung ist also instabil, d.h. es existieren
überhaupt keine stabilen Stellungen.
- Algebraische Analyse:
- Bei der obigen Berechnung der Gleichgewichtslagen erhielt
man
- φ0 = 0 ist immer eine Gleichgewichtslage
- φ1 mit
- liefert für p < 1 zwei weitere Gleichgewichtslagen
- Linearisieren um φ0 ergab als Bedingung
für Stabilität
- Linearisieren um φ1 ergab
- mit
- und p = cos φ1 also
- allerdings war p < 1 Voraussetzung für die
Existenz von φ1 !
- zusammengefasst
- p < 1 → stabiles Gleichgewicht bei 0, instabiles
bei ±φ1
- p > 1 → instabiles Gleichgewicht bei 0
- Graphische Darstellung des (statischen) Gesamtmoments Mg
+ Mc als Funktion des Winkels:
- bei normalem c
- rücktreibendes Moment im Gleichgewicht ↔
negative Steigung
- stabiles Gleichgewicht nur bei φ0 =
0
- Verhalten bei halber Federkonstanten
- einzige Gleichgewichtslage instabil