Lösung von Aufgabe 10

1. Bestimmung der Bewegungsgleichung:
   • Als Hilfsgrößen werden noch der Winkel β und die Längen d und h₂ eingeführt.
     
   • Bezeichnet man die feste Seillänge mit S, lassen sie sich mit Hilfe der Koordinate q ausdrücken:
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   • Die Bewegungsgleichung enthält die Hangabtriebskraft, die Komponente der Seilkraft längs der schiefen Ebene und die Trägheitskräfte beider Massen:
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   • Gewichtskraft und Trägheitskraft der Masse am Seil wirken entlang des Seils. Der Anteil in q-Richtung bekommt daher jeweils einen Faktor -sin β
   • Durch stures Rechnen erhält man die Ableitungen von h₂:
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   • Setzt man alles ein und sortiert die Terme nach Ableitungen von q, lautet die vollständige Bewegungsgleichung für q
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2. Gleichgewichtslage:
   • Setzt man als Lösung die statische Gleichgewichtslösung q = q₀ ein, folgt aus der Bewegungsgleichung
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   • Auflösen nach q ⇒
     • q₀ = L tan α
   • Anschaulich: Kräftegleichgewicht, wenn β = α
3. Linearisieren der Bewegungsgleichung:
   • Einführen der Koordinate x als Abweichung von der Gleichgewichtslage
     • x := q - L tan α
   • Die komplizierten Terme werden dann schrittweise linearisiert, wobei die Beziehung
     • (1 + x)^k ≈ 1 + k x
   • immer wieder nützlich ist, i.f. etwa für k = -1/2.
   • Am besten fängt man an mit
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   • Dies liefert als nächstes
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   • Der Term mit ist schon quadratisch in x ( = !), er verschwindet beim Linearisieren.
   • Der Term ist selbst schon klein (linear in x), von der komplizierten Klammer bleibt beim Linearisieren daher nur der konstante Anteil in x:
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   • Ersetzt man alle Terme der Bewegungsgleichung durch ihre linearen Näherungen und teilt noch durch den Vorfaktor von , erhält man schließlich die linearisierte Bewegungsgleichung
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