Gravitationsfelder
- Massenanziehungskraft nach Newton:
- bei zwei Massen m, M im Abstand r
- Gravitationskonstante γ = 6.673 ·
10-11 m3/(kg s2)
- potentielle Energie im Gravitationsfeld
- Sichtweise
- Masse M erzeugt Gravitationsfeld G mit
Potential
- U = V/m
- Masse m erfährt Kraft F = m G aufgrund des
Feldes
- Situation ist symmetrisch (auch m hat ein
Feld...)
- Keplersche Gesetze:
- von Kepler aus Beobachtung vor allem der
Marsbewegung gewonnen
- beschreiben Bewegung von Körpern (Planeten) im
Gravitationsfeld
- K1: Bahn ist Ellipse, Sonne in einem Brennpunkt
- K2: Strahl von Sonne zum Planeten überstreicht
in gleichen Zeiten gleiche Flächen
- K3: Verhältnis von dritter Potenz der großen
Halbachse zu Quadrat der Umlaufzeit für alle Planeten gleich
- von Newton aus Massenanziehungsgesetz
hergeleitet
- Ableitung von K3 für Kreisbahnen:
- auf Kreisbahn Kräftegleichgewicht zwischen
Anziehungskraft und Zentrifugalkraft
- Zusammenhang zwischen Bahngeschwindigkeit v und
Umlaufszeit T
- Einsetzen liefert K3 incl. Wert der Konstanten
- gilt auch für Ellipsenbahnen mit r = a (große
Halbachse)
- Probleme mit Gravitationsfeld:
- Feld ist statisch ("unendliche
Ausbreitungsgeschwindigkeit")
- verletzt spezielle Relativitätstheorie
- Gleichheit von schwerer und träger Masse ist
Zufall
- Periheldrehung des Merkur unverstanden
- Nachfolger: Allgemeine Relativitätstheorie
- Äquivalenzprinzip:
- Vorgänge in beschleunigten Bezugssystemen und in
Gravitationsfeldern sind äquivalent (d.h. durch Messung nicht zu
unterscheiden).
- Äquivalenz von träger und schwerer Masse klar
(besser: in die Theorie eingebaut)
- in Gravitationsfeldern frei fallende Systeme sind
Inertialsysteme
- Äquivalenzprinzip gilt nur lokal (für kleine
Abstände)
- Uhren im Gravitationsfeld:
- System 1
- zwei Uhren A, B in einem beschleunigten
Aufzug
- fliegen an (ruhender) Uhr C vorbei
- B kommt mit Geschwindigkeit vB an C
vorbei
- A kommt mit größerer Geschwindigkeit
vA an C vorbei
- Zeitmessungen in TA, TB,
TC nach spezieller Relativitätstheorie
- für kleine Geschwindigkeiten gilt näherungsweise
durch Entwickeln
- System 2
- Uhren A und B ruhen in verschiedenen Höhen im
Gravitationsfeld
- Uhr C fällt frei vorbei
- Fallgeschwindigkeit von C bei A und B aus
Energieerhaltung
- Äquivalenz von System 1 und System 2 →
- Zeit im stärkeren Gravitationsfeld ("unten") vergeht
langsamer
- Längen im Gravitationsfeld:
- Maßstäbe schrumpfen im Gravitationspotential
ΔU gemäß
- etwa bei Ausmessung der Sonnenumgebung
- Ergebnis
- Umfang wie immer (Gravitation klein)
- Durchmesser größer (Maßstäbe sind
geschrumpft)
- → Umfang/Durchmesser kleiner als π
- äquivalente Interpretation
- Maßstäbe sind (per Definition) gleich lang
- Geometrie des Raums durch Gravitation
verändert
- Raum ist "gekrümmt" (nichteuklidisch)
- Schwarze Löcher:
- sehr große Massen in sehr kleinem Volumen
- unterhalb eines bestimmten Abstands (Schwarzschildradius) Sturz ins Zentrum
unausweichlich
- entstehen (u.a.?) bei Zusammenbruch großer Sterne
(Supernovae)
- Raum und Zeit extrem stark gekrümmt → bizarre
unanschauliche Effekte
- Bestimmung des Schwarzschildradius:
- näherungsweise, nichtrelativistisch
- Fluchtgeschwindigkeit vF bei Masse M und
Abstand r ⇔ kinetische Energie gerade so groß, um
Gravitationsenergie zu überwinden
- Schwarzschildradius R, wenn vF = c →
- erstaunlicherweise Ergebnis exakt
- bei fast allen Objekten tatsächlicher Radius r
wesentlich größer als R
- für Sonne etwa 3 km
- Gravitationswellen:
- bei Bewegung von Massen abgestrahlte Wellen des
Gravitationsfeldes
- abgestrahlte Leistung einer Masse m auf Kreisbahn r
mit Kreisfrequenz ω
- indirekter Nachweis
- enge Umkreisung zweier Neutronensterne
(Doppelpulsar PSR 1913-16)
- → Energieverlust durch Abstrahlung von
Gravitationswellen
- → Abstand verringert sich
- → Umlaufzeit nimmt ab
- Nachweis durch Hulse/Taylor (Physik-Nobelpreis
1993)
- direkter Nachweis sehr schwierig
- Gravitationswelle → Verzerrung der
Raum-Zeit-Struktur
- Abstände von Maßstäben ändern sich
- relative Längenänderungen im Bereich
10-20
- entspricht etwa Atomdurchmesser zu Abstand
Erde-Sonne
- Messungen über Laser-Interferometrie in
Vorbereitung
- Aufgaben:
