Mehrdimensionale Nullstellensuche

Problemstellung:
- gegeben sind n Funktionen F_i mit n Unbekannten x_i
- gesucht sind Nullstellen x_i aller Gleichungen
  - bzw. vektoriell geschrieben
- ohne weitere Kenntnisse von F oder guten Anfangswerten i. a. nahezu unlösbar (vgl. [6, Kap. 9.6)]) !
Graphische Veranschaulichung im 2d-Fall:
- F₁(x, y) = z Fläche in 3d
- F₁(x, y) = 0 Schnittkurve dieser Fläche mit der xy-Ebene
- Lösung beider Gleichungen Schnittpunkte der beiden Schnittkurven
- Beispiel
  - im Bild
- Erstellung dieser Graphik in Matlab mit Hilfe der Funktion plotZeros.m
  - ```
  % Beispielfunktion
  f1 = @(x,y) x.^2 + y.^2 - 6; 
  f2 = @(x,y) x.^3 - y.^2; 
  % Bereich der Koordinaten 
  xvals = -3:.2:3; 
  yvals = -3:.2:3; 
  plotZeros(f1, f2, xvals, yvals) 
```
Lösen mit dem Newton-Verfahren:
- mehrdimensionale Taylorentwicklung in 1. Ordnung
  - mit der Funktionalmatrix (Jacobimatrix)
  - nähert Funktion durch "Tangentialebene"
- Funktionen beim Näherungswert x_k durch lineare Näherung ersetzen und auflösen
- Nullstelle x des linearen Gleichungssystems als nächsten Wert x_k+1 wählen
- iterieren, bis gewünschte Genauigkeit erreicht
Beispiel:
- löse System des obigen Beispiels
- (schlechter) Schätzwert
  - x₀ = 1, y₀ = 1
- Berechnen der Jacobimatrix
  - also
- Bestimmung von z := x - x_k aus dem linearen Gleichungssystem
  - Wert von x₀ einsetzen →
  - Ergebnis
- daraus nächster Schätzwert
- Wiederholen liefert
  - korrekt auf 3 Nachkommastellen

Implementierung in Matlab:

Parameter

Name	Bedeutung	Typ
F	Funktion, die die Gleichung definiert	Funktion y = F(x) mit Vektoren x, y
DF	Jacobimatrix von F	Funktion Dy = DF(x) mit Vektor x und Matrix Dy
x0	Schätzwert	Vektor
tol	gewünschte Genauigkeit	Zahl