Gleichungslösung in der Praxis

• Lösen nichtlinearer Gleichungen:
  • Problem: Finde reelles x mit
    • f₁(x) = f₂(x)
  • Funktionen enthalten Stoffgesetze
    • als Interpolation von Tabellenwerten
    • als komplexe Fitkurven
  • direkte algebraische Methoden scheitern
  • grundlegender Ansatz
    • f(x) := f₁(x) - f₂(x) = 0
    • Nullstellensuche mit Standardverfahren, etwa Dekker-Brent
    • in Matlab: fzero
    • klappt zuverlässig bei geeignetem Startintervall
• Fixpunkt-Verfahren:
  • Umformen zu
    • x = g(x)
  • Methode: Stoffgesetze als konstant annehmen und nach x auflösen
  • Lösen durch Iteration
    • x_i+1 = g(x_i)
  • beliebt bei Mathematikern
    • elegant
    • auf abstrakte Räume verallgemeinerbar
    • wichtig in vielen Beweisen (Picard-Lindelöf!)
  • aber: konvergiert nur unter strengen Voraussetzungen!
    • hinreichend: |g'(x)| ≤ q < 1 in geeignetem Intervall
    • notwendig: |g'(x*)| ≤ 1
• Ingenieure:
  • müssen ein- oder mehr-dimensionale Gleichungen lösen
  • sind nicht an Eleganz interessiert
  • kümmern sich selten um Voraussetzungen von Verfahren
  • verwenden trotzdem häufig Fixpunkt-Methoden
  • standardisieren Verfahren "für die Ewigkeit" (DIN-Normen, VDI-Wärmeatlas)