Hydrostatischer Druck

• Druck p im ruhenden Fluid:
  • senkrecht auf eine Fläche A wirkende Kraft F_n
  • i.a. ortsabhängig, also für sehr kleine Fläche definieren
    • 
  • SI-Einheit Pascal
    • 1 Pa = 1 N/m²
  • abgeleitete Einheit
    • 1 bar = 10⁵ Pa
  • 1 bar ≈ Luftdruck auf Meereshöhe
• Richtungsunabhängigkeit des Drucks:
  • Kräftegleichgewicht im ruhenden Fluid
  • betrachten kleines Prisma, Dicke dx
    
  • Kräftegleichgewicht in y-Richtung
    • 
  • Kräftegleichgewicht in z-Richtung
    • 
  • Druck ist unabhängig von der Orientierung für alle Schnittflächen gleich
• Druck im Schwerefeld:
  • Kräftgleichgewicht bei Schwerkraft
    
  • Kräfte in horizontaler Richtung heben sich auf
  • Gewichtskraft
    • F_G = - m g = -ρ dx dy dz g
  • Gleichgewicht in z-Richtung
    • - p(z + dz) dx dy + F_G + p(z) dx dy = 0
  • Änderung des Drucks in erster Ordnung (Tangente)
    • 
  • Einsetzen liefert
    • dp = -ρ dz g
  • bei Flüssigkeit (konstante Dichte) daher
    • p(z) = - ρ g z + C
  • Randbedingung: Athmosphärendruck p₀ an der Oberfläche ⇒
    • p(z) = p₀ - ρ g z
  • Druck ist gleich in Punkten gleicher Tiefe
• Konsequenzen:
  • Kommunizierende Röhren
    • verbundene Röhren mit homogenem Fluid gefüllt
    • → Oberflächen auf gleicher Höhe
      
  • Hydrostatisches Paradoxon
    • Druckkraft am Boden unabhängig von der Gefäßform
      
• Anwendungen:
  • Hydraulische Presse
    
    • kleine Kraft F₁ bei kleiner Fläche A₁
    • Druck bei A₁ und A₂ gleich groß
    • → große Kraft F₂
    • 
  • U-Rohr-Manometer
    
    • Kesseldruck p_K bei gleicher Höhe im rechten Schenkel →
    • p_K = ρ g h + p₀
• Aufgaben:
  • Aufgabe 6