Wärmeleitung
- Gesetz von Fourier:
- Ursache: räumlicher Temperaturgradient dT/dx
- Wirkung: Wärmestromdichte
- Beobachtung von Fourier
- Wärmestromdichte und Temperaturgradient sind
proportional
-
Wärmeleitfähigkeit λ
- Materialkonstante, tabelliert
- Einheit W/(K m)
- genauer: abhängig von p und auch T
- Vorzeichen
- Wärme fliesst entgegen dem Temperaturgradienten
(von warm nach kalt)
- Wärmeleitung durch ebene Wand:
- homogene Wand der Fläche A und Dicke d
- Temperaturverteilung zeitlich konstant
- Temperaturen T1, T2 an linker
und rechter Seite
- durch Wand hindurchtretender Wärmestrom
= A - an jedem Wandquerschnitt x konstant
- Gesetz von Fourier →
- Lösung: T nimmt linear mit x ab
- Randbedingung T(0) = T1 ⇒ C =
T1
- Randbedingung T(d) = T2 ⇒
- Vergleich liefert Wärmestrom
- Gekrümmte Wände:
- geringe Krümmung → näherungsweise eben
rechnen
- Zylinder- oder Kugeloberfläche
- aus Differentialgleichung in Zylinder- oder
Kugelkoordinaten
- einfacher aus Konstanz des Wärmestroms durch
gesamte Oberfläche im Abstand r
- Wärmestrom durch ein Rohr:
- Zylinderwand mit Innenradius r1,
Außenradius r2, Länge l
- mit Oberfläche A(r) = 2 π r l wird
- mit = const. integrieren von r1 bis
r ⇒
- Wärmestrom aus Randbedingung T(r2) =
T2 ⇒
- analoge Rechnung für Kugelwand
-
Wärmewiderstand:
- Analogie zum elektrischen Stromkreis
- Potenzialdifferenz U
Temperaturdifferenz T1 -
T2
- Strom I Wärmestrom
- Ohmsches Gesetz R = U / I Rth = (T1 -
T2)/
- daher Definition des Wärmewiderstands
- Rth = (T1 -
T2)/
- bei ebener Wand
- bei Zylinderwand
- Mehrschichtige Wand:
- Wärmestrom durch Wand aus Schichten mit
unterschiedlichem λ
- Thermischer Widerstand der Wand als
"Reihenschaltung" der Einzelwiderstände
- daraus gesamter Wärmestrom durch die Wand gemäß
- = (T1 -
T2)/Rth
- Aufgaben:
