Kalorische Zustandsgleichung und Wärmekapazität

• Kalorische Zustandsgleichung:
  • Zustand eines homogenen Systems durch zwei Größen charakterisiert. Daher können innere Energie und Enthalpie als Funktionen von z.B. T und p oder T und v angegeben werden. Diese Beziehungen heißen kalorische Zustandsgleichungen.
  • Zweckmäßige Wahl (vgl. differentielle Energiebilanzen):
    • u = u(T, v)
    • h = h(T, p)
  • vollständiges Differential:
    • 
• Spezifische Wärmekapazitäten:
  • partielle Ableitungen nach der Temperatur:
    • 
  • auf die Masse bezogen (spezifisch)
  • i.a. von der Temperatur und vom Volumen bzw. Druck abhängig
  • c_v aus Wärmemessung bei konstantem Volumen bestimmbar:
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  • integriert:
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  • analog:
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• Spezialfall:
  • c_V hänge nicht von T ab, keine Reibung
  • damit
    • Q₁₂ = m c_V (T₂ - T₁)
  • in Worten:
    • Spezifische Wärmekapazität gibt die benötigte Wärmemenge an, um 1 kg eines Stoffes um 1 K zu erwärmen. Geschieht dies bei konstantem Volumen, erhält man c_v, bei konstantem Druck c_p.
  • c_V und c_p sind Stoffeigenschaften, Werte tabelliert
• Berücksichtigung der Temperaturabhängigkeit in der Praxis:
  • Funktion c(T) in der Regel kompliziert, etwa c_p von Wasser bei Normaldruck (1.01325 bar):
    
  • in der Praxis für bestimmte Temperaturbereiche gemittelte Werte:
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  • anschaulich: Mittelwert liefert gleiche Fläche
    
  • in Tafeln meist auf feste untere Temperatur T₀ = 0°C bezogen
  • Berechnung von aus Tafelwerten:
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• Temperaturausgleich:
  • Mischung zweier Stoffe A, B mit unterschiedlicher Temperatur → mittlere Temperatur stellt sich ein.
  • Bestimmung der Mischtemperatur aus der Wärmebilanz (adiabatisch):
    • Q_{a, Mi} + Q_{b, Mi} = 0
  • Wärme geht vom wärmeren zum kälteren Stoff bis zum Gleichgewicht.
  • Damit:
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• Problem bei der Temperaturberechnung:
  • Wärmekapazität für Bereich bis T_Mi benötigt, aber T_Mi ist nicht bekannt!
  • Lösung in der Praxis: Schätzwert für T_Mi ergibt Schätzwert für c. Bei nicht zu starker Temperaturabhängigkeit von c ist die Näherung ok.
  • Ist die sich aus dem Schätzwert ergebende Wärmekapazität sehr verschieden von dem Wert, der sich aus der berechneten Mischtemperatur ergibt, wiederholt man das Verfahren mit dem berechneten Wert als neuem Schätzwert.
• Aufgaben:
  • Aufgabe 7
  • Aufgabe 8