Umströmung von Körpern

• Strömungsbilder umströmter Körper:
• stark abhängig von der Form
  
• Geschwindigkeitsverteilung
  • w = 0 am Staupunkt S
  • w = 0 an der Körperoberfläche (Haftbedingung)
  • w = w_∞ weit weg vom Körper
  • Übergang in Schicht um den Körper (Grenzschicht)
• Grenzschicht sehr dünn bei nicht zu starker Reibung (etwa für Re > 10⁴)
• Eigenschaften der Grenzschicht:
  • w hinter S klein → laminar
  • w steigt längs des Körpers an → Umschlag in Turbulenz
  • dickere Grenzschicht → dw/dy kleiner → geringere Wandspannung
• Geometrie der Grenzschicht
  • Koordinate x folgt der Körperform
    
  • Dicke
    • 
  • Umschlagspunkt etwa bei
    • 
    • wobei Re_krit = 3 · 10⁵ .. 3 · 10⁶ (formabhängig)
  • Geschwindigkeitsprofile
    
  • Beispielwerte für Auto in Luft, l = 1 m, w = 20 m/s →

    Re	1.3 · 106
    Rekrit	106
    xU	0.7 m
    δl	4 mm
    δt	16 mm

• Widerstandskräfte:
  • Fluid übt längs Körperlinie y_K(x) Kräfte auf Körper aus
    
  • Resultierende zerlegen
    • Widerstand = parallel zur Strömung
    • Auftrieb = senkrecht zur Strömung
  • Widerstand = Summe von Druck- und Reibungswiderstand
    • F_w = F_wD + F_wR
  • Ansatz: F_w proportional zu Staudruck und Stirnfläche
    • F_w = c_w ρ/2 w_∞² A_St
  • Widerstandsbeiwert c_w abhängig von
    • Form des Körpers
    • Reynoldszahl
    • Rauigkeit der Oberfläche
  • c_w bei umströmter Kugel (Re mit Kugeldurchmesser d)
    
  • c_w bei vielen Körperformen (etwa beim Auto) nahezu unabhängig von Re
• Reibungswiderstand:
  • Summe der Wandspannung längs der Körperoberfläche
  • Vereinfachung: konstante Breite b →
    • 
  • Reibungsbeiwert c_wR analog zu c_w, bezogen auf umströmte Fläche A
    • F_wR = c_wR ρ/2 w_∞² A
  • F_wR = 0 bei reibungsloser Strömung (Re → ∞)
• Druckwiderstand:
  • Kraft längs der Oberfläche aufsummieren
    • 
  • für reibungslose Strömungen ist p = const →
    • 
  • Druckwiderstand vollständig umströmter Körper verschwindet in reibungsfreier Strömung (d'Alembertsches Paradoxon)
  • Aufteilung des Widerstands verschiedener Körper
    
• Widerstandsbeiwert einer längs umströmten Platte:
  • nur Reibungswiderstand
  • abhängig von Re und Rauheit k_S/l
  • kritische Reynoldszahl
    • R_krit ≈ 5 · 10⁵
  • c_w bezogen auf umströmte Fläche A, da Stirnfläche hier 0
  • ähnliches Diagramm wie bei Rohrströmung
    
  • semi-empirische Beziehungen für verschiedene Bereiche
    • rein laminare Grenzschicht (1)
    • 
    • rein turbulent, hydraulisch glatt (2)
    • 
    • laminar + turbulent (3a)
    • 
  • rein turbulente Strömung bei kleinem Re z.B. durch Rauhigkeiten an der Vorderkante
• Ablösung:
  • große Krümmung (insbesondere Kanten) →
    • Teilchen folgen nicht mehr der Kontur (Ablösung der Grenzschicht)
    • stehende bis gegenläufige Bewegung im "Windschatten" (Totwassergebiet)
    • an Kanten Ablösen von Wirbeln (Karmansche Wirbelstraße)
  • Ursache
    • Druck in der Grenzschicht nimmt hinter dem Staupunkt zunächst ab
    • hinter Verdickung muss der Druck wieder ansteigen (Krümmungsdruck!)
    • Teilchen werden dort gebremst
    • zu hohe Reibungsverluste → Teilchen bleiben stehen oder laufen zurück
  • Ablösung erhöht den Druckwiderstand (größere effektive Stirnfläche)
  • turbulente Grenzschicht →
    • höherer Impulsübertrag von außerhalb der Grenzschicht
    • spätere Ablösung
    • geringerer Druckwiderstand
  • Erklärung für kleines c_w bei großem Re bei umströmter Kugel
    
• Aufgaben:
  • Aufgabe 14
  • Aufgabe 15