Ähnlichkeitsgesetze

• Dimensionsanalyse:
  • Ausgangspunkt: funktionale Abhängigkeit zwischen n physikalischen Größen
    • f(a₁, a₂, .., a_n) = 0
  • Größen a_i haben Einheiten
  • können durch m Grundeinheiten beschrieben werden (3 bei Mechanik, 4 incl. Thermodynamik)
  • Π-Theorem: Funktion f umschreibbar mit n - m dimensionslosen Kombinationen Π_j (Kennzahlen) der a_i
    • F(Π₁, Π₂, ..., Π_n-m) = 0
• Beispiel "Erzwungene Schwingung":
  • Grundgleichung
    • m + b + c x = cos(ω t)
  • Einheiten der Größen

    ai	[ai]
    m	kg
    b	kg s-1
    c	kg s-2
    	kg m s-2
    ω	s-1
    t	s

  • 2 dimensionslose Kennzahlen
    • 
  • Vergleich mit den üblichen Größen bei der erzwungenen Schwingung
    • K₁ = ω₀/ω = 1/η
    • K₂ = 2 δ/ω₀ = 2 D
• Beispiel Rohrströmung:
  • Strömung durch ein kreisrundes Rohr
    
  • beschrieben durch Beziehung
    • f(Δp/l, d, , ρ, η) = 0
    • zwischen den Größen

      ai	[ai]	Bedeutung
      Δp/l	kg m-2 s-2	Druckabfall/Rohrlänge
      d	m	Rohrdurchmesser
      	m s-1	mittlere Strömungsgeschwindigkeit
      ρ	kg m-3	Dichte des Fluids
      η	kg m-1 s-1	Viskosität des Fluids

  • Kennzahl K = Potenz der Größen mit Einheit 1, also
    • 
  • Vergleich der Exponenten von kg, m, s liefert

    α + δ + ε = 0	(1)
    -2α + β + γ - 3 δ - ε = 0	(2)
    -2α - γ - ε = 0	(3)

  • Wähle α = 1, ε = 0 ⇒
    • (1) ⇒ δ = -1
    • (3) ⇒ γ = -2
    • (2) ⇒ β = 1
    • 
    • λ: Rohrreibungszahl
  • Wähle α = 0, ε = 1 ⇒
    • 
    • Re: Reynoldszahl
  • Beziehung in dimensionslosen Größen also
    • F(λ, Re) = 0
  • oder
    • λ = λ(Re)
• Reynolds-Zahl:
  • wichtigste Kennzahl reibungsbehafteter Strömungen
  • Definition
    • Re := w L ρ / η = w L / ν
    • L: charakteristische Länge
    • ν: kinematische Viskosität
  • Verhältnis von kinetischer zu Reibungsenergie
    • 
  • charakterisiert Grenze zwischen laminarer und turbulenter Strömung
• Froude-Zahl:
  • Kennzahl von Strömungen unter Schwerkraft (Gefälle, Oberflächenwellen)
  • Definition
    • 
  • Verhältnis von kinetischer und potentieller Energie
    • 
  • ebenfalls Verhältnis von Strömungsgeschwindigkeit zu Geschwindigkeit von Oberflächenwellen
  • charakterisiert Grenze zwischen gleichmäßig strömender (ruhiger Fluss) und schießender Bewegung (Sturzbach)
• Anwendung "Modellbau":
  • gleiche Strömungsverhältnisse bei gleichen Kennzahlen und ähnlicher Geometrie
  • erlaubt Untersuchung von Strömungen mit Modellen (Wasser-, Windkanal)
  • Übereinstimmung aller Kennzahlen nicht immer erreichbar, z.B. bei Oberflächen-Rauheit