Auftrieb und Schwimmen
- Statischer Auftrieb:
- Körper mit Volumen VK sei vollständig untergetaucht
- horizontale Druckkraft Fx
- Körper senkrecht geteilt denken
- Druckkräfte von links und von rechts
- projizierte Fläche Ax für beide Kräfte gleich
- heben sich auf →
Fx = 0
- vertikale Druckkraft FA (Auftrieb)
- Körper horizontal geteilt denken
- Druckkräfte Fz,1 von unten und Fz,2
von oben
- Gesamtkraft
FA |
= Fz,1 + Fz,2 |
|
= ρ g (VK + VF) - ρ g VF |
|
= ρ g VK |
- Auftrieb eines untergetauchten Körpers = - Gewichtskraft
des verdrängten Fluid-Volumens (Gesetz von Archimedes)
- Auftrieb in Gasen häufig vernachlässigbar
- zusätzliche Auftriebskräfte in inhomogenen Medien (z.B.
bei Temperaturunterschieden) oder in Strömungen
- Schwimmen:
- mittlere Dichte eines Körpers kleiner als die des Fluids
→
- Auftrieb FA > Gewichtskraft G
- Körper taucht nur teilweise ein
- Eintauchtiefe so groß, dass Gewicht des verdrängten Fluids
= Gewicht des Körpers
- Schwimmfläche
- Schnitt der Wasseroberfläche durch schwimmenden Körper
- Körperschwerpunkt SK
- Angriffspunkt der Gewichtskraft
- Verdrängungsschwerpunkt SV
- Schwerpunkt des verdrängten Fluids
- Angriffspunkt des Auftriebs
- Schwimmachse
- Verbindungslinie von SK und SV
- im Gleichgewicht vertikal
- Stabilität eines untergetauchten Körpers:
- Auslenkung aus Gleichgewichtslage →
- SK und SV nicht übereinander
- zusätzliches Moment
- stabile Schwimmlage
- Moment dreht Körper in Gleichgewichtslage zurück
- bei SK unterhalb SV
- instabile Schwimmlage
- Moment verstärkt Auslenkung
- bei SK oberhalb SV
- indifferente Schwimmlage
- Moment verschwindet
- bei SK = SV
- z.B. bei homogenem Körper
- Stabilität eines schwimmenden Körpers:
- Auslenkung aus Gleichgewichtslage →
- Form des verdrängten Fluids ändert sich
- SV ändert sich zu SV'
- Metazentrum M bei Auslenkung
- Schnittpunkt der (ursprünglichen) Schwimmachse und
der Vertikalen durch SV'
- metazentrische Höhe hm
- stabile Schwimmlage, wenn
- SK unterhalb von SV (Gewichtsstabilität)
- oder hm positiv (Formstabilität)
- Berechnung der metazentrischen Höhe:
- betrachten Auslenkung um kleinen Winkel φ
- bestimmen Rückstellmoment M durch Untersuchung der
Änderungen gegenüber senkrechter Lage
- zunächst Änderung der Auftriebskräfte durch
zusätzlich eingetauchte bzw. jetzt aufgetauchte Volumenelemente dV
- Auftriebskraft auf neu eingetauchtes Volumenelement dV
dFA |
= ρ g dV |
|
= ρ g z dA |
|
= ρ g x tan φ dA |
|
≈ ρ
g x φ dA |
- zusätzliches Drehmoment bezüglich Symmetrieachse um 0
- gesamtes Rückstellmoment
- mit Flächenträgheitsmoment der Schwimmfläche
- M auch gegeben durch Verschiebung der Auftriebskraft um
b
- vorher
- nachher
- Änderung also
- Betrag des Rückstellmoments
- da Verschiebung des Verdrängungsschwerpunkts für
kleine φ nahezu waagerecht
- Damit:
M |
= FA b |
|
= ρ g Vv b |
|
= ρ g Vv (hm + e) sin φ |
|
≈ ρ
g Vv (hm + e) φ |
- Gleichsetzen der Beziehungen für M liefert
-
- e = Abstand SK und SV in Ruhelage
- Aufgaben: