Zufallsvariablen

• Definition von reellen Zufallsvariablen:
  • anschaulich: (numerisches) Ergebnis eines Zufallsexperiments
  • mathematisch:
    • Sei (Ω, ℱ, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine reelle Zufallsvariable X ist eine Abbildung
    • X: Ω → ℝ
    • wobei für jedes a ∈ ℝ
    • 
  • Bedingung wichtig für überabzahlbares Ω
  • auch andere Zielräume als ℝ möglich
    • betrachten später ℝⁿ
    • bis dahin hier immer ℝ
• Beispiele für Zufallsvariablen:
  • Augensumme beim Wurf mit zwei Würfeln
  • • 
  • Anzahl der defekten Bauteile bei einer Stichprobe
  • erzielte Sektornummer beim Glücksrad
  • Lebensdauer eines Produkts
• Diskrete Zufallsvariable:
  • Zufallsvariable, die nur abzählbar viele verschiedene Werte annimmt
  • Beispiele oben
    • 1, 2, 3 diskret, 4 nicht
    • 3 diskret, obwohl Ω überabzählbar!
• Verteilungsfunktion:
  • Sei X eine Zufallsvariable, I ⊂ ℝ ein Intervall, dann heißt die Abbildung
    • 
  • die Verteilung von X. Man schreibt vereinfacht
    • 
  • Für a ∈ ℝ definiert man die kumulative Verteilungsfunktion (cdf)
    • F(a) := P(X ≤ a)
  • Bei einer diskreten Zufallsvariablen mit Wertebereich a₁ a₂, ... definiert man noch die Wahrscheinlichkeitsfunktion
    • p(a_i) := P(X = a_i)
• Beispiel Augensumme zweier Würfel:
  • Gleichverteilung aller Ergebnisse aus Ω
  • mögliche Werte 2, 3, ..., 12
  • Wahrscheinlichkeitsfunktion als Tabelle (durch Abzählen)

    • ai	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
      p(ai)	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

  • kumulative Verteilungsfunktion
    •