Definition der Wahrscheinlichkeit

• Beispiel "idealer Würfel":
  • Ergebnisse eines Wurfs: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  • Ereignisse
    • E₁: Es wird eine 6 gewürfelt
    • E₂: Es wird eine Zahl < 3 gewürfelt
    • E₃: Es wird eine ungerade Zahl gewürfelt
  • Elementarereignis: Ereignis, das nur aus einem einzigen Ergebnis besteht
  • Annahme: Ergebnisse gleichwahrscheinlich, also
    • P({1}) = ... = P({6}) = 1/6
  • Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch Abzählen der enthaltenen Elementarereignisse
    • P(E₁) = P({6}) = 1/6
    • P(E₂) = P({1,2}) = 2/6
    • P(E₃) = P({1,3,5}) = 3/6
• Beispiel "Drehen eines Glücksrads":
  • kreisförmige Scheibe mit Sektor-Markierungen
    • 
    • wird kräftig in Drehung versetzt und kommt durch Reibung zum Stehen
    • feststehender Pfeil zeigt auf die Scheibe und definiert das Ergebnis
  • Ergebnisse: jeder beliebige Winkel φ ∈ [0, 360°)
  • Ereignisse
    • E₁: der Winkel beträgt 90°
    • E₂: der Winkel liegt zwischen 45° und 90°
    • E₃: der Sektor "7" wird erreicht
    • E₄: ein roter Sektor wird erreicht
  • Annahme: alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich
    • unendlich viele Ergebnisse, sogar überabzahlbar viele!
    • P(E₁) = P({φ, beliebig}) = 0
  • Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses = eingeschlossene Fläche / Kreisfläche
    • P(E₂) = 1/8
    • P(E₃) = 1/16
    • P(E₄) = 1/4 + 1/8 + 1/16 = 7/16
• Definition des Wahrscheinlichkeitsraums (Ω, ℱ, P):
  • Menge Ω (Ergebnisraum)
  • Menge ℱ von Teilmengen von Ω (Ereignisraum) mit folgenden Eigenschaften (σ-Algebra)
    • 
  • Abbildung P: ℱ → [0,1] (Wahrscheinlichkeitsmaß) mit
    • 
• Anmerkung zu ℱ:
  • bei endlichem oder abzählbarem Ω oft einfach
    • ℱ = (Ω) (Potenzmenge von Ω)
  • bei überabzahlbarem Ω (z.B. Intervall reeller Zahlen)
    • Potenzmenge "zu groß" → keine sinnvolle Definition von P möglich
    • Ausweg: nur "vernünftige" Teilmengen zulassen
  • bei reellen Zahlen z.B. Intervalle und ihre abzählbaren Durchschnitte und Vereinigungen
  • i. F. wird ℱ immer so angenommen
• Einfache Folgerungen:
  1. P(A^c) = 1 - P(A)
  2. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
  3. A ⊂ B ⇒ P(B \ A) = P(B) - P(A)
  4. P(B \ A) = P(B) - P(A ∩ B)
  5. P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
• Beweis von 5:
  • Ereignisse als Flächen symbolisiert
    • 
  • Zerlegung in disjunkte Teile liefert sofort
    • 
  • Einsetzen in (5) ergibt dann
    • P(A ∪ B ∪ C) = P(I) + P(II) + P(III) + P(IV) + P(V) + P(VI) + P(VII)
• Beispiel n-faches Würfeln:
  • Ω = {(a₁,a₂, .., a_n) | a_i ∈ {1,2,3,4,5,6} }
  • P(ω) = 1/6ⁿ für alle ω ∈ Ω
  • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Mensch-ärger-dich-nicht herauszukommen?
    • konkret: A = bei dreimaligem Würfeln mindestens eine 6 würfeln
  • Trick: Berechnung des Gegenereignisses
    • A^c = bei dreimaligem Würfeln keine 6 würfeln
    • P(A^c) = 5³/6³
    • P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - 5³/6³ = 42.13 %
• Laplace-Experiment:
  • Ω endlich
  • Annahme: alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich
  • Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch Abzählen der enthaltenen Elementarereignisse
    • P(A) = |A| / |Ω|
  • Kombinatorik nützlich
    • Zahl der Permutationen (Vertauschungen) von n Elementen
    • P(n) = n! = 1 · 2 · ... · n
    • Zahl der Möglichkeiten, k Elemente von n auszuwählen
    • 
• Beispiel Kniffel:
  • berechne P(FullHouse) beim Kniffel
  • Anzahl von FullHouse-Ergebnissen, sortiert: XXXYY, 6*5 Möglichkeiten
  • Anzahl verschiedener Reihenfolgen
    • generell: 5! = 120
    • Vertauschen der X bzw. Y untereinander liefert keine neuen Reihenfolgen!
    • es bleiben: 5!/(3! 2!) = 120/(6*2) = 10
  • Damit
    • |A| = 10*30 = 300
    • |Ω| = 6^5 = 7776
    • ⇒ P(A) = 300/7776 = 3.858 %
• Aufgaben:
  • Aufgabe 1
  • Aufgabe 2