Aufgabe 22

• Angenommen, die Frage, ob es heute regnet, hinge nur von den Wetterbedingungen von gestern und vorgestern ab, nämlich:
  • Wenn es zwei Tage hintereinander geregnet hat, regnet es am nächsten Tag mit einer Wahrscheinlichkeit p = 0.7,
  • wenn es gestern geregnet hat, vorgestern aber trocken blieb, regnet es heute mit p = 0.5,
  • wenn es gestern nicht geregnet hat, aber vorgestern, regnet es heute mit p = 0.4,
  • wenn es zwei Tage hintereinander trocken blieb, regnet es am nächsten Tag mit p = 0.2.
• Dies ist kein Markov-Prozess, kann aber mit einem Trick leicht zu einem gemacht werden:
  • Man ordnet jedem Tag einen Zustand (X,Y) zu, wobei
    • X = T bzw. X = R, wenn es am Vortag trocken war bzw. geregnet hat,
    • Y = T bzw. Y = R, wenn es am Tag selbst trocken war bzw. geregnet hat.
  • Damit hängt die Regen-Wahrscheinlichkeit an einem Tag nur vom Zustand des Vortags ab.
• Berechnen Sie die Übergangs-Matrix des entsprechenden Markov-Prozesses und zeichnen Sie den Übergangs-Graphen. Ist der Prozess reduzibel oder irreduzibel? Welche Zustände sind transient, welche rekurrent?
• Berechnen Sie die Gleichgewichtsverteilung auf drei Weisen:
  • per Hand
  • durch Lösen des Gleichungssystems mit Matlab
  • durch Bestimmen des Langzeitverhaltens
• An wievielen Tagen im Jahr regnet es durchschnittlich?