Berechnung mit Matlab

• Beispiel:
  • Schwingerkette von oben
  • Werte
    • m = 1 kg
    • c = 1 N/m
    • b = 0.5 N s/m (also D = 0.25)
• Matrizen festlegen:

  • >> m = 1;
    >> c = 1;
    >> b = 0.5;
    >> M = [1, 0; 0, 1]*m;
    >> B = [2, -1; -1, 3]*b;
    >> C = [2, -1; -1, 2]*c;

• Komplexe Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen:
  • mit Matlabfunktion polyeig

    • >> [X, E] = polyeig(C, B, M)
      
      X =
         0.5713 - 0.2867i   0.5713 + 0.2867i   0.5156 + 0.5047i   0.5156 - 0.5047i
        -0.7687 + 0.0232i  -0.7687 - 0.0232i   0.6066 + 0.3339i   0.6066 - 0.3339i
      
      E =
        -0.8708 + 1.4606i
        -0.8708 - 1.4606i
        -0.3792 + 0.9453i
        -0.3792 - 0.9453i

  • Eigenwerte und -vektoren treten in konjugierten Paaren auf, man will jeweils nur einen davon
  • am einfachsten Eigenwerte mit positivem Imaginärteil (wird ω !) per Hand auswählen und aufsteigend nach Imaginärteil sortieren

    • >> la = E([3, 1])
      >> Phi = X(:, [3, 1])
      
      la =
        -0.3792 + 0.9453i
        -0.8708 + 1.4606i
      
      Phi =
         0.5156 + 0.5047i   0.5713 - 0.2867i
         0.6066 + 0.3339i  -0.7687 + 0.0232i

  • erste Komponente der Eigenvektoren wie üblich auf 1 normieren

    • >> nn = diag(1./Phi(1,:));
      >> Phi = Phi*nn  
      
      Phi =
         1.0000             1.0000          
         0.9245 - 0.2575i  -1.0912 - 0.5069i

• Eigenwerte und -vektoren zerlegen:

  • >> delta = -real(la)
    >> omega = imag(la)
    >> r = abs(Phi)
    >> phi = angle(Phi)
    
    delta =
        0.3792
        0.8708
    
    omega =
        0.9453
        1.4606
    
    r =
        1.0000    1.0000
        0.9597    1.2032
    
    phi =
             0         0
       -0.2716   -2.7067

  • damit lassen sich die Eigenschwingungen x_i(t) hinschreiben
• Eigenschwingungen plotten:
  • hier alles möglichst explizit, eleganter mit geeigneten Array-Konstruktionen und/oder Schleifen

  • >> t = 0:0.01:10;
    >> 
    >> % 1. Eigenschwingung
    >> j = 1;
    >> rj = r(:,j);
    >> phij = phi(:,j);
    >> delj = delta(j);
    >> omj = omega(j);
    >> x11 = rj(1)*exp(-delj*t).*cos(omj*t + phij(1));
    >> x12 = rj(2)*exp(-delj*t).*cos(omj*t + phij(2));
    >> 
    >> % 2. Eigenschwingung
    >> j = 2;
    >> rj = r(:,j);
    >> phij = phi(:,j);
    >> delj = delta(j);
    >> omj = omega(j);
    >> x21 = rj(1)*exp(-delj*t).*cos(omj*t + phij(1));
    >> x22 = rj(2)*exp(-delj*t).*cos(omj*t + phij(2));
    >> 
    >> subplot(2,1,1);
    >> plot(t, x11, t, x12, t, 0*t, 'k');
    >> legend('x_1(t)', 'x_2(t)', 'Location', 'Best');
    >> title('1. Eigenschwingung')
    >> 
    >> subplot(2,1,2);
    >> plot(t, x21, t, x22, t, 0*t, 'k');
    >> legend('x_1(t)', 'x_2(t)', 'Location', 'Best');
    >> title('2. Eigenschwingung')

  • erzeugtes Bild s.o.