Praktische Berechnung

Schwierigkeiten bei manueller Berechnung:
- Nullstellen von Polynomen
  - ab Grad 5 unmöglich
  - ab Grad 3 aufwändig
- Lösung homogener Gleichungssysteme
  - geht prinzipiell immer
  - ab n > 3 mühsam
- Bestimmung der charakteristischen Gleichung als Determinante
  - prinzipiell möglich durch Entwickeln nach einer Zeile oder Spalte
  - handhabbar bei vielen Nullen in den Matrizen
  - grundsätzlich kein numerisches, sondern algebraisches Problem (Variable ω oder η)
Nachvollziehen des Rechenwegs mit Matlab:
- Schritte liefern alle Zwischenergebnisse der manuellen Rechnung
- Aufstellen der charakteristischen Gleichung per Hand oder mit der Symbolic Toolbox
- direkte Lösung (ohne Zwischenschritte) mit Matlabs eig-Funktion (s.u.)

Aufstellen der charakteristischen Gleichung mit Matlabs Symbolic Toolbox:

>> M = [6, 0, 0; 0, 6, 0; 0, 0, 1] * 1000;
>> C = [6 -3 0;-3 4 -1; 0 -1 1] * 1e6;
>> syms om2;
>> As = -om2*M + C
>> eq = det(As)
>> poly = sym2poly(eq)'

Nullstellen von Polynomen:
- in Matlab beliebige Ordnung möglich mit Funktion roots
- liefert auch komplexe Lösungen
- in obigem Beispiel
  - ```
  >> om2 = roots(poly)
  om2 =
     1.0e+03 *
      1.5000
      1.0000
      0.1667
```
- aufsteigend nach Größe sortieren
  - ```
  >> om2 = sort(om2)
  om2 =
     1.0e+03 *
      0.1667
      1.0000
      1.5000
```
- im Applet Polynom wie in Matlab als Koeffizientenvektor eingeben
Lösung homogener Gleichungssysteme:
- Voraussetzung: Systemmatrix A ist singulär (Determinante = 0)
- Grundidee:
  - x₁ = 1 einsetzen
  - in "normales" (inhomogenes) Gleichungssystem umformen
  - mit Matlab lösen
- Beispielhaft für dreidimensionales System
- x = 1 wählen und letzte Gleichung weglassen (überflüssig!)
- Gleichungssystem für 1. Eigenvektor lösen mit
  - ```
  >> A = -om2(1)*M + C;
  >> xRest = A(1:end-1, 2:end) \ (-A(1:end-1,1))
  xRest =
      1.6667
      2.0000
  >> x = [1; xRest]
  x =
      1.0000
      1.6667
      2.0000
```
- bei Problemen ggf. andere Koordinate auf 1 setzen oder andere Gleichung weglassen
- Lösung homogener Gleichungssysteme in Matlab direkt mit null
  - ```
  >> x = null(A)
  x =
     -0.3586
     -0.5976
     -0.7171
```
- x ist auf Länge = 1 normiert
- Wahlweise umrechnen auf x₁ = 1 mit
  - ```
  >> x = x/x(1)
  x =
      1.0000
      1.6667
      2.0000
```
- null scheitert manchmal an numerischer Ungenauigkeit, gelegentlich hilft null(A, 'r')
Komplette Lösung des Eigenwert-Problems mit Matlab:
- Eingabe von Massen- und Steifigkeitsmatrix
  - ```
  >> M = [6, 0, 0; 0, 6, 0; 0, 0, 1] * 1000;
  >> C = [6 -3 0;-3 4 -1; 0 -1 1] * 1e6;
```
- komplette Lösung mit der Funktion eig
  - ```
  >> [Phi, om2] = eig(C,M);
```
- Phi ist die fertige Modalmatrix mit irgendeiner Normierung der Eigenvektoren
  - ```
  Phi =
      0.0061   -0.0082   -0.0079
      0.0102   -0.0000    0.0079
      0.0122    0.0245   -0.0158
```
- om2 ist eine Diagonalmatrix mit den Quadraten der Eigenfrequenzen als Werte
  - ```
  om2 =
     1.0e+03 *
  
      0.1667         0         0
           0    1.0000         0
           0         0    1.5000
```
- Bei Bedarf umschreiben in Vektor der Eigenfrequenzen mit diag
  - ```
  >> om = diag(sqrt(om2))
  om =
     12.9099
     31.6228
     38.7298
```
- Umrechnen der Eigenvektoren auf x₁ = 1 mit Trick
  - 1. Zeile von Phi als Diagonale einer Diagonalmatrix schreiben
  - Invertieren und von rechts an Phi heranmultiplizieren
- in Matlab
  - ```
  >> nn = diag(1./Phi(1,:));
  >> Phi = Phi*nn
  Phi =
      1.0000    1.0000    1.0000
      1.6667    0.0000   -1.0000
      2.0000   -3.0000    2.0000
```
Aufgaben:
- Aufgabe 8