Herleitung der Modaltransformation
- Grundlegende Beziehungen
- Nach Definition der Eigenvektoren i
gilt die Eigenwertgleichung
- Matrizen M und C sind symmetrisch
- daher folgt für beliebige Vektoren a und b
- analog für C
- Orthogonalität der Eigenvektoren
- Für zwei Eigenvektoren i,
j
(i ≠ j) zu verschiedenen Eigenfrequenzen gilt
- Multiplizieren der 1. Gleichung mit jT,
der zweiten mit iT
und Subtraktion →
- Symmetrie von M und C liefert
- wegen ωi
≠ ωj
folgt also
- dies oben eingesetzt ergibt sofort
- im folgenden nehmen wir immer an, dass alle Eigenfrequenzen
verschieden sind.
- Normierung der Eigenvektoren
- modale Massen mi sind
definiert durch
- modale Steifigkeiten ci
durch
- Multiplikation der Eigenwertgleichung mit iT
ergibt
- oder in Matrixform mit den Diagonalmatrizen m = diag(mi)
etc.
- Eigenschaften der Modalmatrix
- definiert als Matrix der Eigenvektoren
- Betrachte Elemente der Matrix ΦT
M Φ
- analog erhält man
- Die Inverse Φ-1
der Modalmatrix berechnet man als
- es ist nämlich
- Übergang zu Hauptkoordinaten
- Definition der Hauptkoordinaten y durch
- Ableitung der Matrixmultiplikation ergibt
- Einsetzen in Bewegungsgleichung und Multiplikation mit
ΦT →
- mit den obigen Beziehungen daher
- m und c sind Diagonalmatrizen, d.h. die Gleichungen lauten
in Koordinaten