Berechnung bestimmter Integrale

• Trapezregel:
  • sehr einfaches Verfahren zur numerischen Integration
  • Prinzip
    • Unterteilung des Integrationsintervalls in N Teile
    • Funktion in jedem Intervall durch Strecke nähern
    • Fläche der sich ergebenden Trapeze addieren
      
  • in Formeln
    • Zahl der Intervalle N vorgeben
    • Breite h der Intervalle
    • h = (b - a)/N
    • Fläche F_i eines Trapezes
    • 
    • Integral damit
    • 
  • Beispiel i.f.
    • 
  • Berechnung von I in Matlab

    • >> N = 5;
      >> a = 0;
      >> b = pi/2;
      >> h = (b-a)/N;
      >> x = a:h:b;
      >> y = sin(x);
      >> I = h*(0.5*y(1) + sum(y(2:N)) + 0.5*y(N+1))
      
      I =
      
          0.9918   
      

  • ganz genauso für N = 100 ergibt (mit format long)
    • I = 0.99997943823961
• Eigene Funktionen in Matlab:
  • einfachste Form
    • alle Kommandos in eine Datei trapez1.m
    • mit trapez1 (Dateiname) aufrufen
    • zur Erklärung Kommentare einfügen (von % bis zum Zeilenende)
    • Problem: alle Parameter direkt in Datei ändern
  • als Funktion
    • alle Kommandos in Datei trapez2.m
    • erste Zeile definiert Funktionsnamen und Argumente
    • function trapez2(a, b, N)
  • benutzen mit

    • >> trapez2(0, pi/2, 1000)
      
      ans =
      
         0.99999979438323
      

  • Kommentar am Anfang wird Hilfetext

    • >> help trapez2
      
        Integration mit der Trapezregel
          Argumente
              Grenzen a, b
              Zahl der Intervalle N
          Ergebnis
            Integral des Sinus von a bis b,
            genaehert mit Trapezregel mit N Intervallen
      

  • andere Funktion als Sinus
    • Funktion als neues Argument func (s. trapez.m)
    • ersetze sin(x) durch func(x)
    • aufrufen mit Funktionszeiger ("function handle"): @FUNKTIONSNAME

    • >> trapez(@cos, 0, pi, 100)
      
      ans =
      
           8.370884395220717e-17
      

  • beliebige Funktion integrieren
    • gewünschte Funktion als eigene Matlab-Funktion
    • z.B. Fehlerintegral e^-x2 (glocke.m)

    • >> glocke(1)
      
      ans =
      
         0.36787944117144
      

    • damit in trapez

    • >> trapez(@glocke, 0, 10, 1000)
      
      ans =
      
         0.88622692545276
      

• Bessere Integrationsmethoden:
  • Funktion durch Parabeln statt Geraden annähern (Simpson-Methode)
  • Intervalle nicht gleich groß, sondern geschickt anpassen
    • unzählige Verfahren
    • kann auch mit schwierigen Integranden fertigwerden
    • nicht möglich bei Tabellenfunktionen
  • Matlabfunktion quad berechnet Integral auf relative Genauigkeit 1e-6
    • >> quad(@glocke, 0, 10)
• Aufgaben:
  • Aufgabe 11