Grundlegende Beispiele

• Beispiele für Differentialgleichungen:
  • radioaktiver Zerfall
    • Anzahl N der Kerne mit Zerfallskonstante λ
    • 
  • radioaktive Zerfallskette
    • Teilchensorte 1 zerfällt in Sorte 2 mit λ₁
    • Sorte 2 zerfällt weiter mit λ₂
    • 
  • angeregte Schwingung mit viskoser Reibung
    • Masse m schwingt an Feder mit Federkonstante c
    • Reibung ist proportional zur Geschwindigkeit v
    • äußere zeitabhängige Erregerkraft F(t)
    • 
• Lösungsverfahren von Euler:
  • einfachstes (und ungenauestes) Verfahren
  • Grundidee
    • Ableitung ersetzen durch (endliche) Differenzen
    • 
    • ergibt normale Gleichungen für f
  • im Beispiel "radioaktiver Zerfall"
    • 
    • bei gegebenem Startwert N(0) schrittweise lösen
    • hier sogar direkt auflösbar
    • 
  • in Matlab

    • N0 = 10000;        % Anfangsmenge
      lambda = 0.1;      % Zerfallskonstante
      h = 0.1;           % Schrittweite
      n = 0:1000;        % 1000 Schritte
      t = h*n;           % Zeitwerte
      N = N0*(1-lambda*h).^n;   % Werte fuer N(t)
      plot(t, N);
      

      
• Lösungsverfahren in Matlab:
  • Ausgangspunkt immer Grundform
    • y' = f(t, y)
  • viele sehr weitentwickelte Verfahren (ode solver)
  • einige Solver für schwierige (steife) Differentialgleichungen
  • Auswahl des Solvers u.a. abhängig von
    • Genauigkeitsforderung
    • "Glattheit" der Gleichungen
    • Schwierigkeit der Gleichung (steif oder nicht steif)
  • Daumenregel
    • erste Wahl: ode45
    • falls der versagt oder zu lange braucht: ode15s
    • wenn der auch nicht klappt: Experten fragen
• Vorgehensweise am Beispiel "Radioaktiver Zerfall"
  • Gleichungen schreiben als y' = f(t, y)
    • 
  • rechte Seite als Matlab-Funktion definieren (radioaktiv.m)
  • Solver aufrufen
    • [t,y] = ode45(@radioaktiv,[0 100],[10000]);
  • Parameter
    • betrachtetes Zeitintervall [0 100]
    • Anfangswert [10000]
  • Ergebniswerte y und zugehörige Zeiten t
  • Ergebnis in gewohnter Form plotten
    • plot(t, y);
      
• Beispiel "Zerfallskette":
  • System von Differentialgleichungen
  • wie vorher, aber alle Größen als Vektoren
  • Gleichungen als y' = f(t, y)
    • 
  • rechte Seiten als Matlab-Funktion radiokette.m
  • Anfangsbedingungen z.B.
    • 10000 Teilchen von Sorte 1
    • keine Teilchen von Sorte 2
  • Lösen
    • [t,y] = ode45(@radiokette,[0 100],[10000 0]);
  • Spalten 1, 2 von y enthalten Zeitwerte von y₁, y₂, daher plotten mit

    • plot(t, y(:,1), t, y(:,2))
      legend("N_1(t)", "N_2(t)", 0);
      

      
• Beispiel "Angeregte Schwingung mit viskoser Reibung"
  • Problem: Gleichung zweiter Ordnung
  • Trick: Geschwindigkeit als zweite Variable einführen
  • damit Umschreiben in 2 Gleichungen 1. Ordnung
    • 
  • rechte Seiten als Matlab-Funktion erzwungen.m
  • Anfangsbedingungen z.B. Masse in Ruhe am Ursprung
  • Lösen
    • [t, y] = ode45(@erzwungen, [0 30], [0 0]);
  • Darstellung
    • zweite Spalte ist Geschwindigkeit
    • zusätzlich äußere Anregung plotten

    • F = cos(t);
      plot(t, y(:,1), t, y(:,2), t, F)
      legend("Auslenkung", "Geschwindigkeit", "Kraft", "Location", "best");
      

      
• Übergabe von Parametern:
  • Problem:
    • Parameter (m, b, c, A, omega) fest in Funktion erzwungen
    • sollen direkt angebbar sein
  • Parameter als zusätzliche Argumente der Funktion (erzwungenp.m)
  • Erzeugen einer Hilfsfunktion myfunc, die nur von t und y abhängt
    • myfunc = @(t, y) erzwungenp(t, y, 1 , 0.286, 4.68, 0.706, 1);
  • Aufruf des Solvers mit der Hilfsfunktion
    • [t, y] = ode45(myfunc, [0 40], [1 0]);
      
• Aufgaben:
  • Aufgabe 11