Lösen von Gleichungen

• Lineare Gleichungssysteme:
  • betrachten Beispiel
    • 
  • in Matrixform
    • A x = r
  • wobei
    • 
• Lösung in Matlab:
  • für das Beispielsystem

    • >> A = [2 -1 3; 4 -2 1; 0 3 1]
      
      A =
      
           2    -1     3
           4    -2     1
           0     3     1
      
      >> r = [1 5 -3]'
      
      r =
      
           1
           5
          -3
      
      >> x = A \ r
      
      x =
      
          1.0000
         -0.8000
         -0.6000
      

  • Probe:

    • >> A*x - r
      
      ans =
      
         1.0e-15 *
      
         -0.3331
               0
               0
      

  • und genauso auch z.B. für ein 1000x1000-System

    • A=rand(1000); 
      r = rand(1000,1);
      x = A \ r;
      

  • Lösung braucht etwa 0.05 s auf 2.6 GHz-PC
  • Probe

    • >> error = max(abs(A*x-r)) 
      
      error =
      
         2.0761e-13
      

• Überbestimmte Systeme:
  • mehr Gleichungen als Unbekannte
  • i.a. keine Lösung
  • gesucht: Lösung mit geringstem Fehler
  • in Matlab auch einfach mit
    • x = A \ r;
  • graphisch bei 2 Unbekannten
    • Gleichung ax + by = r ist Gerade
    • mehr als 2 Geraden schneiden sich (i.a.) nicht in einem Punkt
    • gesuchter Punkt hat geringste Summe der Abstände
      
  • Beispiel
    • 3 Geradengleichungen
    • 
    • geschrieben als lineares System
    • 
    • also in Matlab
    • A = [6 -1; -1 -1 ; 2 -1];
      r = [-5 -5 2]';
      x0 = A \ r
    • Ergebnis: x0 = [-0.0946 2.4459]'
• Nullstellen von Polynomen:
  • Beispiel 2. Grades
    • 2x² - 2x - 24 = 0
  • in Matlab Polynom als Vektor der Koeffizienten
    • poly1 = [2 -2 -24];
  • alle Lösungen mit der Funktion roots

    • >> roots(poly1)
      
      ans =
      
           4
          -3
      

  • geht auch bei komplexen Lösungen, etwa x² + 1 = 0

    • >> poly2 = [1 0 1];
      >> roots(poly2)
      
      ans =
      
              0 + 1.0000i
              0 - 1.0000i
      

  • klappt auch bei höherer Ordnung

    • >> poly3 = [1    -8    20   -10   -25    22];
      >> roots(poly3)
      
      ans =
      
         3.7059          
        -1.0781          
         2.1861 + 0.8527i
         2.1861 - 0.8527i
         1.0000          
      

• Lösung "beliebiger" Gleichungen:
  • Beispiel: Löse die Gleichung
    • 
  • Umformulierung: Finde Nullstellen der Funktion
    • 
  • Funktion fzero braucht als Argumente Funktion und Startwert
  • Funktion direkt hinschreiben als "anonyme Funktion"

    • >> F = @(x) sin(x) - exp(-0.05*x.^2)
      
      F = 
      
          @(x)sin(x)-exp(-0.05*x.^2)
      

  • irgendeinen (?) Startwert nehmen und ab geht's

    • >> x0 = 0;
      >> x = fzero(F, x0)
      
      x =
      
          1.1968
      

  • andere Startwerte liefern andere Lösungen

    • x0	x
      0	1.1968
      1	1.1968
      2	2.2537
      3	2.2537
      4	2.2537
      5	6.4116

  • wieviele Lösungen gibt es überhaupt?
  • graphisch Überblick gewinnen

    • x = -15:0.1:15;
      plot(x, F(x), [-15 15], [0 0])
      

    • 
    • damit Struktur der Lösungsmenge und gute Startwerte für fzero
  • am besten mit Suchintervall [x0,x1]
    • x = fzero(F, [x0,x1])
    • Voraussetzungen: f ist stetig und Vorzeichen von F(x0) und F(x1) verschieden
    • genau eine Lösung im Intervall → fzero findet sie
    • mehrere Lösungen im Intervall → fzero findet eine
• Aufgaben:
  • Aufgabe 7