Seltsame Attraktoren und Fraktale

• Bäcker-Abbildung:
  • einfacher Prototyp der Streck-, Quetsch- und Faltabbildung
  • bildet das Einheitsquadrat in sich ab
    • Höhe auf 0.4 stauchen, Länge um 2 strecken
    • rechte Hälfte abschneiden
    • umgeklappt in die obere Hälfte des Quadrats packen
      
  • als Formel
    • 
  • Abbildung mischt Anfangswerte durcheinander
    
  • nach vielen Iterationen
    • Muster von vielen dünnen Streifen
    • wiederholt sich bei kleineren Maßstäben
      
  • Lyapunov-Exponenten
    • λ₁ > 0 (Explosion in x-Richtung)
    • λ₂ < 0 (Stauchen in y-Richtung)
    • λ₁ + λ₂ < 0 (insgesamt Stauchung)
• Fraktal:
  • geometrisches Objekt (Menge von Punkten), z.B. Kurve
  • mehr als 1d, weniger als 2d (oder andere Dimensionen)
  • bei Vergrößerung immer wieder gleicher Aufbau (selbstähnlich)
  • Beispiele
    • Attraktor bei der Bäcker-Abbildung
    • Koch-Kurve
      
      
      
    • Attraktor beim chaotischen Pendel
      
• Seltsamer Attraktor (Strange Attractor):
  • Attraktor mit fraktaler Form
  • entsteht bei Bewegungen in endlichem Phasenraum wenn
    • positive und negative Lyapunov-Exponenten (Stauchen in einer Richtung, Strecken in anderer)
    • Summe der Lyapunov-Exponenten negativ (insgesamt Stauchung)
  • vorhersagbar
    • Bewegung landet beim Attraktor
  • unvorhersagbar
    • Bewegung auf Attraktor hochkompliziert
    • welche Teilblätter in welcher Reihenfolge ?
    • exponentiell von Anfangsbedingungen abhängig
  • chaotisches Pendel
    • Zahl der Überschläge zwischen Richtungswechsel langfristig unvorhersagbar
  • chaotischer Duffing-Oszillator
    • Zahl der Schwingungen bis zum Wechsel der Seite langfristig unvorhersagbar