Beugung am Spalt

• Experiment:
  • paralleles Licht fällt auf Spalt
  • wird unter Richtung α beobachtet
    • 
• Amplitude der überlagerten Wellen
  • Gangunterschied benachbarter Wellen
    • Δ = s sin α = b sin α / p
  • entsprechender Phasenunterschied

    • φ	= 2 π Δ / λ
      	= 2 π b sin α / ( p λ)

  • Feldstärke E_α durch Überlagerung der p Kugelwellen

    • Eα =	E cos(ω t) + E cos(ω t + φ) + E cos(ω t + 2φ) +
      	... + E cos(ω t + (p-1)φ)

  • mit cos α = Re(e^iα)
    • E_α = Re( E e^iωt (1 + e^iφ + e^{i 2φ} + ... + e^{i (p-1)φ}) )
  • Addition der e-Funktionen als Summe vieler kleiner Zeiger in der komplexen Ebene
    
  • ergibt für die Amplitude der Überlagerung
    • E_α⁰ = 2r sin(Φ/2)
  • mit
    • Φ = p φ
    • φ ≈ tan φ = E/r
  • also
    • E_α⁰= 2 (E/φ) sin pφ/2
  • Einsetzen von φ ergibt
    • 
  • wobei E₀ := p E Amplitude in Geradeausrichtung (α = 0)
• Intensität des Beugungsbildes:
  • Intensität des Lichts proportional E², also
    • I_α = I₀ sin²x / x²
  • mit
    • x = (π b/λ ) sin α
  • graphisch
    
• Beugungsmuster:
  • im Bild
    
  • Dunkelheit bei x = ±m π, m = 1, 2, .. →
    • sin α_dunkel = ±m λ/b
  • Helligkeit etwa in der Mitte, also
    • sin α_hell ≈ ± (m + 1/2) λ/b
  • Simulation
    • 
• Spezialfälle:
  • großer Spalt (b >> λ) →
    • sin α₁ = λ/b << 1
    • Beugungsmuster sehr schmal
    • geht praktisch im zentralen Maximum unter
  • kleiner Spalt (b < λ)
    • sin α₁ = λ/b > 1
    • kein Minimum
    • alle Richtungen im Bereich des zentralen Maximums
    • einfache Elementarwelle
• Lochblenden:
  • "Spalt" kreisförmig (statt unendlich lang), Durchmesser d
    
  • Rechnung komplizierter (Besselfunktionen)
  • erster dunkler Ring bei
    • sin α₁ ≈ 1.22 λ/d
• Auflösungsvermögen:
  • Abbildung zweier dicht benachbarter Objekte (Winkel δ) durch Blende (z.B. Linse)
  • Beugungsbilder überlagern sich
  • Gesamtbild: verbeultes Scheibchen mit kleinem Buckel
  • praktisches Kriterium (Rayleigh): nur als zwei Punkte erkennbar, wenn 2. Maximum weiter entfernt ist als erstes Minimum
    • δ > 1.22 λ/d =: δ_min

  • d = 1.25 δmin	d = 1.00 δmin	d = 0.75 δmin	d = 0.50 δmin

• Aufgaben:
  • Aufgabe 34