Lösung von Aufgabe 2

• Alle Berechnungen können mit dem Matlab-Skript ex02.m ausgeführt werden.
  • Mit dem Skript erhält man für die relativen Fehler err_1,2 von exp(10) und exp(-10) folgende Werte:

    • N	err1	err2
      30	7.9838e-08	2.0373e+01
      40	1.7788e-13	5.3128e-05
      50	3.3033e-16	7.2223e-09

    Die Fehler bei exp(-10) sind dramatisch viel größer; umgekehrt braucht man viel mehr Terme, um eine vergleichbare Genauigkeit zu erhalten. Ursache ist die Auslöschung bei der Taylorreihe von exp(-10), deren Terme jedesmal das Vorzeichen wechseln.
  • Für x = 20 ergeben sich folgende Werte:

    • N	err1	err2
      30	1.3475e-02	7.7612e+14
      50	4.8287e-09	5.0793e+08
      70	2.4571e-16	1.1302e+00
      100	2.4571e-16	1.0249e+00

    Die Reihe konvergiert generell langsamer, d. h. man braucht mehr Terme für einen vorgegebenen Fehler. Bei exp(-20) sind die numerischen Fehler durch Auslöschung so groß, dass auch mit beliebig vielen Termen kein sinnvolles Ergebnis erzielt wird.
  • Das Problem der Auslöschung lässt sich hier leicht umgehen, indem man exp(-x) nicht direkt über die Taylorreihe bestimmt, sondern durch exp(-x) = 1/exp(x). Die sich dabei für exp(-x) ergebenden relativen Fehler sind etwa so groß wie die von exp(x).