Lösung von Aufgabe 16

• Alle Berechnungen und Zeichnungen können mit dem Matlab-Skript ex16.m ausgeführt werden.
• Die Massen- und die Steifigkeitsmatrix definieren das verallgemeinerte Eigenwertproblem, das in Matlab mit
  • [U, D] = eig(C,M);
• sofort gelöst werden kann.
• Die Eigenwerte d_i auf der Diagonalen von D sind die Werte ω_i², die Eigenfrequenzen f_i erhält man dann als
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• Für gewöhnlich sortiert man die Eigenwerte der Größe nach, bei Schwingungsproblemen beginnend mit dem kleinsten. Die ersten (niederfrequenten) Schwingungen lassen sich in der Regel leichter anregen und sind daher in der Praxis am bedeutendsten.
• Die Eigenvektoren sind jeweils die Spalten von U, der 1. Eigenvektor (zur Eigenfrequenz f₁ = 0.0670 Hz) ist also
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• Gemäß der Definition der Komponenten von bedeutet dies folgende Verschiebungsvektoren für die vier Knoten:
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• Zeichnet man diese Vektoren direkt an die Knoten, erhält man eine gute Vorstellung von der Form der 1. Eigenschwingung
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• bzw. analog von der 2. Eigenschwingung zur Frequenz f₂ = 0.0984 Hz
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• Statt selbst zu zeichnen, kann man das auch Matlab erledigen lassen. Dies erledigt hier die Routine plotMode(xe) in folgender Weise
  • x0 enthält die x- und y-Koordinaten der 6 Punkte (1 - 4 beweglich, 5 und 6 fest).
  • A ist eine symmetrische 6x6-Matrix mit Einträgen 0 und 1. Dabei bedeutet a_ij = 1, dass die Punkte i und j durch eine Feder verbunden sind.
  • Die Massen werden einfach als kleine Kreise geplottet.
  • In einer Schleife über die Elemente von A werden die Federn als Verbindungsstrecken der Punkte gezeichnet.
  • Die Vektoren werden mit der Funktion quiver erzeugt. Diese enthält für jeden Vektor x- und y-Koordinate des Angriffspunktes (aus x0) und x- und y-Koordinate des Vektors selbst (in xe).