Kalman-Filter für nichtlineare Systeme

• Erweiterung der Modelle:
  • 2d-Flug
  • 2d-Abstandsmessungen zu vorgegebenen Bezugspunkten
  • Problem: Messwertbestimmung ist nichtlinear
  • Erweiterung des Kalman-Filters nötig (Extended Kalman Filter)
• Flugmodell:
  • analog zu Flight1D, aber mit 2d-Start- und Landekoordinaten
  • Zustandsvektor 6-dimensional (x, y, vx, vy, ax, ay)
  • Parameter
    • 
  • einige Hilfsrechnungen der Einfachheit halber in der Maske
    • 
  • Aufbau
    • 
• Einfaches Testsystem:
  • Modell flug2d1.mdl
    • 
  • Messung der beiden Beschleinigungskomponenten
    • H = [0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 1]
  • System-Matrizen
    • kinematisches System wie oben, mit dt = 1
    • aber alle Größen jetzt selbst zweidimensional
    • 
    • in Matlab
    • kron([1, 1, 0.5; 0, 1, 1; 0, 0, 1], [1, 0; 0, 1])
    • analog
    • 
  • Ergebnis
    • 
    • Abweichung ähnlich wie im 1d-Fall
• Extended Kalman Filter:
  • Kalman-Filter kann für nichtlineares System erweitert werden
  • hier nur Spezialfall nichtlinearer Messung
  • Systemgleichungen
    • 
  • Filter-Gleichungen
    • Prädiktor
    • 
    • Korrektor
    • 
  • als Simulink-Modell
    • 
    • Block Measurement muss für spezielle Messung angepasst werden
• Messmodell:
  • zusätzlich zu Beschleunigungen werden Abstände zu zwei vorgegebenen Punkten P1, P2 bestimmt
    • 
  • leicht berechnet als
    • 
  • Jacobi-Matrix der Messung
    • mit
    • 
    • erhält man
    • 
  • liefert
    • Messwerte mit Rauschen (z)
    • Messwerte ohne Rauschen (h(x))
    • Jacobi-Matrix H
  • Koordinaten der Punkte P1, P2 als Parameter
  • Aufbau
    • 
    • Zusammenschieben der Teile mit Block Matrix Concatenate
• Gesamtsystem:
  • Modell flug2d2.mdl
    • 
    • Messungsblock 2-Point-Distance steckt auch im Extended Kalman Filter !
  • Ergebnis
    • 
    • i.W. wie bei 1d
    • seltsame Peaks (hohe Ungenauigkeit) bei t = 250
  • Ursache
    • Abstandsmessung liefert grundsätzlich zwei mögliche Orte
    • 
    • Anfangswert x0 legt pS fest
    • nahe des Schnittpunkts liefern die Abstandsmessungen keine Entscheidung
    • ungenaue Beschleunigungsmessung gibt den Ausschlag
• Erweiterung des Modells:
  • Simulation eines temporären Ausfalls der Beschleunigungssensoren
    • Parameter für Beginn und Ende des Ausfalls
    • Umschaltung zwischen entsprechenden Messungen
  • Verbesserung der Bedienbarkeit
    • bisher zwei identische Messmodelle (eins im Filter)
    • Parameteränderungen immer bei beiden eintragen!
    • stattdessen jetzt nur ein Messmodell
    • liefert Ergebnisse für "reale" Messungen und für interne Filterberechnungen
  • Gesamtsystem
    • 
  • Messung wurde aus dem Filter ausgelagert
    • 
    • gibt seinen x-Predictor-Wert nach außen (zum Messblock)
  • Verbesserung des Messblocks
    • modularer Aufbau
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    • verbessert deutlich die Übersichtlichkeit und Verständlichkeit
  • Unterblöcke
    • Umschaltung bei Ausfall der a-Sensoren
    • 
    • Berechnung der Messwerte (wird 2x verwendet)
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    • Berechnung der Jacobi-Matrix
    • 
    • Berechnung der Kovarianz-Matrix
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• Ergebnisse:
  • Ausfall von 0 bis 200
    • 
    • Werte fasst wie vorher, etwas schlechter mit zunehmender Ausfallzeit
  • Ausfall von 200 bis 400
    • 
    • deutliche Verschlechterung
  • Flugbahn und Filter-Vorhersage
    • mit funtionierendem a-Sensor
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    • mit Ausfall des a-Sensors von 200 bis 400
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