Modell für einen harmonischer Oszillator

• Harmonischer Oszillator:
  • beschreibt harmonische Schwingungen x(t)
  • angetrieben durch äußere Kraft F(t)
  • Bewegungsgleichung
    • 
  • Parameter

    • ω0	Kreisfrequenz 2πf
      x0	Anfangsauslenkung
      v0	Anfangsgeschwindigkeit
      u(t)	äußere Beschleunigung F(t)/m

• Grundidee von Simulink:
  • Modell besteht aus Blöcken mit Ein- und Ausgängen
  • Blöcke werden durch Leitungen verbunden (natürlich Ausgang mit Eingang)
  • auf den Leitungen liegen Signale, die in bestimmtem Zeitschritten aktualisiert werden
    • diskrete Systeme: Zeitpunkte festgelegt (meistens mit fester Frequenz)
    • kontinuierliche Systeme (Differentialgleichungen): Zeitpunkte werden vom DGL-Solver bestimmt
• Aufbau des Modells mit Simulink:
  • Vorgehensweise
    • DGL nach höchster Ableitung auflösen (hier )
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    • Signal x festlegen
    • Integrator davor → am Eingang liegt
    • Integrator vor → am Eingang liegt
    • durch geeignete Schleife Differentialgleichung zusammenbauen
  • Modell model_harmonic.mdl
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  • Details zum Aufbau
    • Blöcke aus Simulink-Bibliothek holen
    • Gain-Block mit Format/Flip Block spiegeln
    • Oscilloscope öffnen, Parameters öffnen, Number of axes = 2
    • Leitungen verlegen, Abzweigungen mit <STRG>-Klick
    • Oscilloscope etwas vergrößern
    • Sine Wave öffnen, Frequency = 3
    • Gain öffnen, Gain = 4*4
    • Format/Hide Name bei Subtract und Gain
    • Namen der Integratoren auf v(t) bzw. x(t) ändern
  • Simulation starten mit Simulation/Start
    • im Osci auf "Fernglas" klicken (optimale Skalenwahl)
    • → Bild ist eckig
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  • Simulation/Configuration Parameters öffnen
    • Solver/Max Step Size = 0.1 →
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• Oszillator mit Messungen:
  • Modell soll ergänzt werden um Messung incl. Messrauschen
  • Ergebnis model_harmonic2.mdl
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  • Aufbau
    • Blöcke hinzufügen: Mux, Zero Order Hold, Gain, Sum, Random Number
    • Leitungen zum Osci lösen und neue Signalleitungen legen
    • Block-Parameter

    • Block	Parameter	Wert
      Zero Order Hold	Sample time	0.05
      Gain	Gain	[1,0]
      Gain	Multiplication	Matrix(K*u)
      Random Number	Variance	2e-4
      Random Number	Sample time	0.05

  • Ergebnis
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  • Funktionsweise
    • Multiplexer fasst x und v zu einer Vektorleitung zusammen mit Signal (x, v)^T
    • Zero Order Hold erzeugt daraus Samplewerte im Abstand dt = 0.05 (Oszi oben)
    • Gain macht aus dem Vektorsignal durch Multiplikation mit (1 0) wieder x
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    • Random Number erzeugt zu jedem Zeitschritt (Sample Time) normalverteilte Zufallszahl mit gegebenem Mittelwert (0) und Varianz (0.0002)
• Erzeugen eines Bibliotheksblocks:
  • Ziel: Erzeugen eines universell einsetzbaren Blocks "Harmonischer Oszillator"
  • 1. Schritt: Erzeugen eines Subsystems
    • Markiere mit der Maus ganzes Modell außer Sine Wave und Osci
    • Edit/Create Subsystem
  • Ergebnis (nach Umbenennung und leichter Verschiebung)
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  • 2. Schritt: wichtige Parameter direkt zugreifbar machen
    • Edit/Mask Subsystem/Parameters
    • Eingabe von Beschriftungen und Variablennamen

    • Beschriftung	Variablenname
      angular frequency	omega0
      initial displacement	x0
      initial velocity	v0
      variance of measurement	R
      initial seed	seed
      sample time	dt

    • Doppelklick → Parametermaske öffnet sich
    • Werte eintragen
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  • Hinweis:
    • initial seed initialisiert den Zufallszahlengenerator
    • anderer Wert → andere Zahlenfolge
  • 3. Schritt: Variablen ins Submodell eintragen
    • Subsystem öffnen mit Edit/Look Under Mask
    • Eingang In1 umnennen zu u
    • Ausgänge Out1/Out2 umnennen zu x/v
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    • Variablen eintragen:

    • Block	Parameter	alter Wert	neuer Wert
      Gain	Gain	4*4	omega0*omega0
      Integrator x(t)	Initial condition	0	x0
      Integrator v(t)	Initial condition	0	v0
      Random Number	Variance	2e-4	R
      Random Number	Initial Seed	0	seed
      Random Number	Sample time	0.05	dt
      Zero Order Hold	Sample time	0.05	dt

  • 4. Schritt: Block dokumentieren
    • Edit/Edit Mask/Documentation
    • Mask Type
    • Harmonic oscillator
    • Mask description
    • Linear oscillator
      u: control input
      x: system output (x, v)
      y: measurement output (x + W)
    • Mask help (erscheint bei "Help" in der Matlab-Dokumentation)
    • Harmonic oscillator that is sampled with sample time dt
      <ul>
      <li>System output x: vector of position and velocity</li>
      <li>Measurement output y: measurement of position x, including a normal random noise</li>
      <li>Input u: control input, defining an external driving force</li>
      </ul>
    • Parameter-Maske damit
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  • 5. Schritt: Block verschönern
    • Edit/Edit Mask/Icon/Drawing commands
    • Erzeugen eines Icons mit Matlab-Zeichen-Kommandos, z.B.
    • plot(0:0.1:2*pi,sin(0:0.1:2*pi))
      port_label('input', 1, 'u')
      port_label('output', 1, 'x')
      port_label('output', 2, 'z')
    • Modell model_harmonic3.mdl damit
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