Das Federpendel mit Reibung

Bei realen Federpendeln kommt die Schwingung aufgrund von Reibungsvorgängen schliesslich zur Ruhe. Häufig lässt sich die Reibungskraft durch den einfachen Ansatz

$\begin{displaymath} F_R = -bv \end{displaymath}$

modellieren (viskose Reibung). Das Bewegungsgesetz lautet dann

$\begin{displaymath} \ddot{x} + \frac{b}{m} \dot{x} + \frac{c}{m} x = 0 \end{displaymath}$

mit einer exponentiell abklingenden Schwingung als Lösung:

$\begin{displaymath} x(t) = A e^{-\delta t} \cos(\omega t), \end{displaymath}$

wobei

$\begin{displaymath} \delta = \frac{b}{2m} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \omega = \sqrt{\frac{c}{m} - \delta^2} \end{displaymath}$

Bei großer Dämpfung wird $\omega$ imaginär, die Feder schwingt nicht mehr, sondern bewegt sich langsam in die Ruhelage (Kriechen). Der Fall $\omega = 0$ heisst aperiodischer Grenzfall.

Untersuchen Sie, bei welchen Wert für für verschiedene die Bewegung am schnellsten zur Ruhe kommt. Vergleichen Sie mit der Formel für den aperiodischen Grenzfall.