Das mathematische Pendel

Verzichtet man auf die lineare Näherung des Kraftgesetzes beim Fadenpendel, erhält man für den Auslenkungswinkel $\phi$ die Bewegungsgleichung des mathematischen Pendels:

$\begin{displaymath} \ddot{\phi} = -\frac{g}{l} \sin(\phi) \end{displaymath}$

Ihre Lösung lässt sich zwar nicht mit einfachen Funktionen ausdrücken, aber numerisch relativ leicht bestimmen (etwa mit dem Dormand-Prince-Verfahren, vgl. Stöcker: ``Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren'').

Betrachten Sie zunächst die Bewegung für kleine Anfangsauslenkungen (etwa bis zu $\pi/4 = 45°$ ). Die Kurven für Auslenkung und Geschwindigkeit sehen sinusförmig aus, es ist kein Unterschied zur harmonischen Näherungslösung zu erkennen.

Vergrößert man den Winkel auf $\pi/2 = 90°$ , sieht die Auslenkung immer noch sinusförmig aus, aber die Winkelgeschwindigkeit zeigt deutliche Abweichungen: Sie wirkt fast dreieckig, die Abschnitte zwischen den Extrema sind zu ``gerade''.

Bei noch größeren Anfangswinkeln lässt sich auch die Abweichung der Auslenkung von der Sinuskurve nicht mehr übersehen: Das Pendel verharrt immer länger auf den Extremwerten, so dass die Kurve immer mehr wie ein abgerundetes Rechtecksignal aussieht. Betrachten Sie etwa den Fall $\phi_0 = 0.99*\pi$ .

Bei solch großen Anfangswinkeln wird ein weiteres Phänomen sichtbar: Die Frequenz der Schwingung hängt von der Anfangsauslenkung ab! Tragen Sie die Schwingungszeit T in Abhängigkeit von der Amplitude auf. Können Sie ein Näherungsgesetz für $T(\phi_0)$ bei nicht zu großen Amplituden angeben?

Gibt man dem Pendel bei großer Auslenkung auch noch einen Schwung (d.h. $\frac{d\phi}{dt}(0) > 0)$ , ergibt sich gar keine Schwingung im engeren Sinne mehr: Der Winkel wächst ständig, das Pendel überschlägt sich. Tipp: Die Auslenkungskurve lässt sich eine Weile beobachten, wenn man die Skala des Oszilloskops kleiner macht.

Alternativ kann man sich auch auf den Standpunkt stellen, dass Winkel immer in einem Bereich von $2\pi$ bzw. liegen sollten. Wenn Sie den entsprechenden Schalter aktivieren, wird der Winkel immer auf einen Bereich von $-\pi$ bis $+\pi$ reduziert. Ein Sprung entspricht dann einem Durchgang des Pendels durch den höchsten Punkt, also einem Überschlag.