Chaotisches Pendel im Phasenraum

Die verschiedenen Bewegungsformen des Pendels lassen sich besser untersuchen, wenn man die Auslenkung nicht über die Zeit aufträgt, sondern über die Winkelgeschwindigkeit, d.h. man betrachtet das Verhalten im Phasenraum ( $\phi, \dot{\phi}$ ):

Mit den voreingestellten Startwerten ergibt sich nach der Einschwingphase eine nahezu harmonische Bewegung, im Phasenraum durch eine Ellipse charakterisiert.
Wählt man wieder $\lambda = 0.5$ , $\omega_{ext} = 0.667$ und , erhält man eine deutlich ``verbeulte'' Ellipse, ein Zeichen, dass die Bewegung anharmonisch geworden ist.
Erhöht man die Amplitude der Anregung auf , erscheinen zwei leicht versetzte verbeulte Ellipsen (sofern man den Winkel modulo $2\pi$ aufträgt). Dabei ist die Spitze der einen Kurve abgeschnitten und erscheint auf der anderen Seite. Dies resultiert aus dem Überschwingen des Pendels über die senkrechte Position hinaus.
Verändern Sie nun die Anregungsamplitude und suchen Sie Bereiche, in denen andere Perioden für die Schwingung auftreten.
Im Fall werden einige Bereiche des Phasenraums geradezu ausgefüllt, die ``Kurve'' hat eher einen ``flächenartigen'' Charakter. Dies ist ein für chaotische Systeme typisches Phänomen: Die Bewegung beschreibt keine Kurve im Phasenraum, füllt aber auch nicht ganze Bereiche aus (ein als ergodisch bezeichnetes Verhalten), sondern konzentriert sich auf einen Bereich, der in der Dichte ``zwischen'' Kurve und Fläche liegt, einen sogenannten seltsamen Attraktor.
Untersuchen Sie, für welche Werte von A chaotisches Verhalten vorliegt. Beschränken Sie sich dabei nicht nur auf den Bereich zwischen 1.07 und 1.22! (Tipp: Schaltet man die Reduktion modulo $2\pi$ aus, verrät sich - bei geeigneter Oszilloskop-Skalierung - die chaotische Bewegung noch auf andere Weise.)