Radioaktives Gleichgewicht

Ist das Produkt eines radioaktiven Zerfalls selbst wieder radioaktiv, spricht man von einer Zerfallskette. Im Mittel bzw. für viele Teilchen ergeben sich einfache Differentialgleichungen für die Teilchenzahl der auftretenden Sorten. Ihre Lösungen sind durch Kombinationen von Exponentialfunktionen gegeben, wobei für das erste Glied wieder ein einfaches exponentielles Zerfallsgesetz gilt.

Im Applet kann man den Fall einer einfachen Kette genauer studieren: Die Teilchen des ersten Nuklids (dargestellt durch rote Kreise) zerfallen in Typ 2 (in grün), diese wiederum in den stabilen Endtyp (schwarz). Dabei können sowohl die Mittelwerte als auch aktuelle Messreihen mit entsprechenden statistischen Schwankungen angezeigt werden.

Beobachten Sie, wie die Zahl der Teilchen vom Typ 2 erst auf einen Maximalwert ansteigt und dann wieder abfällt. Messen Sie die Zeit bis zum Maximum in Abhängigkeit von der Halbwertszeit $T_{1/2}^1$ des ersten Zerfalls und tragen Sie die Werte graphisch auf. Gibt es eine einfache Beziehung für $t_M(T_{1/2}^1)$ ? Stellen Sie eine entsprechende Untersuchung auch für $t_M(T_{1/2}^2)$ an.

Ist $T_{1/2}^2$ klein gegen $T_{1/2}^1$ , stellt sich ein radioaktives Gleichgewicht ein, bei dem die Zahl der erzeugten und zerfallenen Teilchen des Typs 1 konstant ist. Dann gilt:

$\begin{displaymath} \frac{N_1(t)}{N_2(t)} = \frac{T_{1/2}^1}{T_{1/2}^2} \end{displaymath}$

Prüfen Sie dieses Verhalten, indem Sie den Wert

für die Ausgangswerte $N_1(0) = 1000, \; T_{1/2}^1 = 50s, \; T_{1/2}^2 = 5s$ untersuchen. Aufgrund der statistischen Natur der Zerfälle gilt die Beziehung natürlich nur im Mittel. Für kleine und große Zeiten ist sie aber wirklich nicht erfüllt. Warum nicht? Was geschieht für kleinere oder größere Werte von $T_{1/2}^2$ ?