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Das Gauß-Verfahren versagt, falls das Diagonalelement
oder Pivotelement (engl. für Dreh- und Angelpunkt) 
eines
Eliminationsschrittes gleich Null ist, 
(Abbruch des Verfahrens bei
Division durch Null).
Pivotsuche: Ist ein Diagonalelement 
, so vertauscht
man die Pivot-Zeilek vor Ausführung des k-ten
Eliminationsschrittes mit derjenigen Zeile m>k, die den
betragsmäßig größten Koeffizienten für 
besitzt:
Neue Pivotzeile m, neues Pivotelement
.
Eine noch weitergehende Pivotstrategie ( Totalpivotisierung),
die eine weitgehende Äquilibrierung der Matrix voraussetzt,
sucht das
betragsgrößte Element unter allen Matrixelementen. Zur Vertauschung dieses
Elements an die Stelle 
sind Zeilen- und Spaltenvertauschungen
erforderlich; Spaltenvertauschungen in einem linearen Gleichungssystem
entsprechen einer Umnumerierung der Unbekannten, die zusätzlich
durchgeführt werden muß.
Aus Gründen der numerischen Stabilität ist Pivotisierung oft auch
für 
sinnvoll, da bei schlecht 'konditionierten'
Gleichungssystemen (im Zweidimensionalen: zwei Geraden mit fast
gleicher Steigung) sonst bei der Division durch kleine
Diagonalelemente eine starke Fehlerfortpflanzung auftreten kann.
Für numerische Rechnungen mit dem Gaußschen Algorithmus ist Zeilenpivotisierung in jedem Fall sinnvoll, Totalpivotisierung empfehlenswert. Ist die Matrix A symmetrisch und positiv definit, so kann auf Pivotisierung verzichtet werden.
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